ルジャンドル多項式[10]

ルジャンドル多項式について、次の式が成り立ちます。
\begin{alignat}{2}
&(1)  (n+1)P_{n+1}(x)-(2n+1)xP_n(x)+nP_{n-1}(x)=0\\
&(2)  (x^2-1)P_n’(x)=\frac{n(n+1)}{2n+1}\{P_{n+1}(x)-P_{n-1}(x)\}\\
\end{alignat}














<証明>

次のルジャンドル多項式の母関数、及び等式を用います。[詳細はこちらです。(A)(B)]
\begin{alignat}{2}
&(A)  \frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} P_n(x)t^n\\
&(B)  (x^2-1)P_n’(x)=nxP_n(x)-nP_{n-1}(x)
\end{alignat}









\((1)\) \(((A))\) の母関数の両辺を \(t\) で微分します。
\begin{alignat}{2}
\frac{d}{dt}\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}}&=\frac{d}{dt}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} P_n(x)t^n\\
-\frac{1}{2}(-2x+2t)(1-2xt+t^2)^{-\frac{3}{2}}&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} P_n(x)\cdot nt^{n-1}\\
(x-t)(1-2xt+t^2)^{-\frac{3}{2}}&=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} P_n(x)\cdot nt^{n-1}\\
\end{alignat}両辺に \(1-2xt+t^2\) を掛けます。$$(x-t) \cdot \frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}}=(1-2xt+t^2)\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)P_{n+1}(x)t^{n}$$左辺に母関数の式を代入します。$$(x-t)\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} P_n(x)t^n=(1-2xt+t^2)\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)P_{n+1}(x)t^{n}$$
両辺を比較するために、左辺と右辺を変形します。

\((α)\) 左辺について
\begin{alignat}{2}
(x-t)\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} P_n(x)t^n&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} xP_n(x)t^n-\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} P_n(x)t^{n+1}\\
&=xP_0(x)+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} xP_n(x)t^n-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} P_{n-1}(x)t^{n}\\
&=xP_0(x)+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \{xP_n(x)-P_{n-1}(x)\}t^n\\
&=xP_0(x)+\{xP_1(x)-P_0(x)\}t+\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} \{xP_n(x)-P_{n-1}(x)\}t^n\\
\end{alignat}

\((β)\) 右辺について
\begin{alignat}{2}
&  (1-2xt+t^2)\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)P_{n+1}(x)t^{n}\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)P_{n+1}(x)t^{n}-2\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)xP_{n+1}(x)t^{n+1}+\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)P_{n+1}(x)t^{n+2}\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)P_{n+1}(x)t^{n}-2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} nxP_{n}(x)t^{n}+\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} (n-1)P_{n-1}(x)t^{n}\\
&=P_1(x)+2P_2(x)t+\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} (n+1)P_{n+1}(x)t^{n}-2xP_1(x)t-2\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} nxP_{n}(x)t^{n}+\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} (n-1)P_{n-1}(x)t^{n}\\
&=P_1(x)+2\{P_2(x)-xP_1(x)\}t +\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\{(n+1)P_{n+1}(x)-2nxP_n(x)+(n-1)P_{n-1}(x)\}t^n
\end{alignat}
\((α)\) と \((β)\) を恒等的に見ることで、次式を得ます。
\begin{cases}
xP_0(x)=P_1(x)  & \cdots (A)\\
xP_1(x)-P_0(x)=2\{P_2(x)-xP_1(x)\}  & \cdots (B)\\
xP_n(x)-P_{n-1}(x)=(n+1)P_{n+1}(x)-2nxP_n(x)+(n-1)P_{n-1}(x)  & \cdots (C)\\
\end{cases}
次のルジャンドル多項式について$$P_0(x)=1,  P_1(x)=x,  P_2(x)=\frac{1}{2}(3x^2-1)$$であることから \((A)(B)\) の式が成り立っていることが確認できます。


また \((C)\) の式を整理すれば、次式を得ます。以上より$$(n+1)P_{n+1}(x)-(2n+1)xP_n(x)+nP_{n-1}(x)=0$$









\((2)\) \((1)\) の式を移項します。$$(2n+1)xP_n(x)=(n+1)P_{n+1}(x)+nP_{n-1}(x)$$両辺を \(2n+1\) で割ります。$$xP_n(x)=\frac{1}{2n+1}\{(n+1)P_{n+1}(x)+nP_{n-1}(x)\}$$次に \((B)\) の式を用意します。$$(x^2-1)P_n’(x)=n\{xP_n(x)-P_{n-1}(x)\}$$\(xP_n(x)\) に代入します。
\begin{alignat}{2}
(x^2-1)P_n’(x)&=n\left[\frac{1}{2n+1}\{(n+1)P_{n+1}(x)+nP_{n-1}(x)\}-P_{n-1}(x)\right]\\
&=\frac{n}{2n+1}\{(n+1)P_{n+1}(x)+nP_{n-1}(x)-(2n+1)P_{n-1}(x)\}\\
&=\frac{n}{2n+1}\{(n+1)P_{n+1}(x)-(n+1)P_{n-1}(x)\}\\
&=\frac{n(n+1)}{2n+1}\{P_{n+1}(x)-P_{n-1}(x)\}\\
\end{alignat}以上より$$(x^2-1)P_n’(x)=\frac{n(n+1)}{2n+1}\{P_{n+1}(x)-P_{n-1}(x)\}$$

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