ルジャンドル多項式[1]

ルジャンドル多項式について、次式が成り立ちます。
\begin{alignat}{2}
&(1)  P_{n}(1)=1\\
&(2)  P_{n}(-1)=(-1)^n\\
&(3)  P_{2n}(0)=(-1)^n \cdot \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\\
&(4)  P_{2n+1}(0)=0\\
&(5)  P_{2n}’(0)=0\\
&(6)  P_{2n+1}’(0)=(-1)^n \cdot \frac{(2n+1)!!}{(2n)!!}\\
&(7)  P_n’(1)=\frac{n(n+1)}{2}\\
&(8)  P_n’(-1)=(-1)^{n-1} \cdot \frac{n(n+1)}{2}\\
\end{alignat}














<証明>

次のルジャンドル多項式の母関数を用います。$$\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}P_n(x)t^n  (|x| \leq 1)  \cdots (A)$$



\((1)\) \((A)\) の式で \(x=1\) とします。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} P_n(1)t^n&=\frac{1}{\sqrt{1-2t+t^2}}=\frac{1}{1-t}\\
&=1+t+t^2+t^3+ \cdots +t^n+ \cdots \\
\end{alignat}\(t\) の次数を見て、両辺を比較します。以上より$$P_n(1)=1$$







\((2)\) \((A)\) の式で \(x=-1\) とします。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} P_n(-1)t^n&=\frac{1}{\sqrt{1+2t+t^2}}=\frac{1}{1+t}\\
&=1-t+t^2-t^3+ \cdots +(-1)^nt^n+ \cdots \\
\end{alignat}\(t\) の次数を見て、両辺を比較します。以上より$$P_n(-1)=(-1)^n$$








\((3)(4)\) \((A)\) の式で \(x=0\) とします。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}P_n(0)t^n&=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}-1\right) \cdots \left(-\frac{1}{2}-n+1\right)}{n!} \cdot t^{2n}\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\frac{2n-1}{2} \cdot \frac{2n-3}{2} \cdots \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}}{n!} \cdot (-t^2)^n\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n-1)(2n-3) \cdots 5 \cdot 3 \cdot 1}{2^n \cdot n!} \cdot (-t^2)^n\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} (-t^2)^n\\
\end{alignat}シグマを用いないで表すと
\begin{alignat}{2}
&P_0(0)+P_1(0)t+P_2(0)t^2+ \cdots +P_{2n}(0)t^{2n}+P_{2n+1}(0)t^{2n+1}+ \cdots \\
&     =\cdots +(-1)^{n-1} \cdot \frac{(2n-3)!!}{(2n-2)!!}t^{2n-2}+(-1)^{n} \cdot \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}t^{2n}+(-1)^{n+1} \cdot \frac{(2n+1)!!}{(2n+2)!!}t^{2n+2}+ \cdots \\
\end{alignat}\(t\) の次数を見て、両辺を比較します。以上より$$P_{2n}(0)=(-1)^n \cdot \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!},   P_{2n+1}(0)=0$$








\((5)(6)\) \((A)\) の式の両辺を \(x\) で微分します。$$\frac{d}{dx}\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}}=-\frac{1}{2} \cdot \frac{-2t}{(1-2xt+t^2)^{\frac{3}{2}}}=\frac{t}{(1-2xt+t^2)^{\frac{3}{2}}}$$となるので$$\frac{t}{(1-2xt+t^2)^{\frac{3}{2}}}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}P_n’(x)t^n  \cdots (B)$$
\((B)\) の式で \(x=0\) とします。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} P_n’(0)t^n&=\frac{t}{(1+t^2)^{\frac{3}{2}}}=t \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{-\frac{3}{2}\left(-\frac{3}{2}-1\right) \cdots \left(-\frac{3}{2}-n+1\right)}{n!} \cdot t^{2n}\\
&=t\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\frac{2n+1}{2} \cdot \frac{2n-1}{2} \cdots \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} }{n!} \cdot (-t^2)^n\\
&=t\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n+1)(2n-1) \cdots 5 \cdot 3 \cdot 1}{2^n \cdot n!} \cdot (-t^2)^n\\
&=t\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n+1)!!}{(2n)!!} (-t^2)^n\\
\end{alignat}シグマを用いないで表すと
\begin{alignat}{2}
&P_0’(0)+P_1’(0)t+P_2’(0)t^2+ \cdots +P_{2n}’(0)t^{2n}+P_{2n+1}’(0)t^{2n+1}+ \cdots \\
&     =\cdots +(-1)^{n-1} \cdot \frac{(2n-1)!!}{(2n-2)!!}t^{2n-1}+(-1)^{n} \cdot \frac{(2n+1)!!}{(2n)!!}t^{2n+1}+(-1)^{n+1} \cdot \frac{(2n+3)!!}{(2n+2)!!}t^{2n+3}+ \cdots \\
\end{alignat}\(t\) の次数を見て、両辺を比較します。以上より$$P_{2n}’(0)=0,  P_{2n+1}’(0)=(-1)^n \cdot \frac{(2n+1)!!}{(2n)!!}$$








\((7)\) \((B)\) の式で \(x=1\) とします。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}P_n’(1)t^n&=\frac{t}{(1-2t+t^2)^{\frac{3}{2}}}=\frac{t}{(1-t)^3}\\
&=t \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{}_{n+1}\mathrm{C}_2t^{n-1}=\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n(n+1)t^{n}\\
\end{alignat}シグマを用いないで表すと
\begin{alignat}{2}
&P_0’(1)+P_1’(1)t+P_2’(1)t^2+ \cdots +P_{n}’(1)t^{n}+ \cdots \\
&     =\cdots + \frac{(n-1)n}{2}t^{n-1}+\frac{n(n+1)}{2}t^{n}+\frac{(n+1)(n+2)}{2}t^{n+1}+ \cdots \\
\end{alignat}\(t\) の次数を見て、両辺を比較します。以上より$$P_n’(1)=\frac{n(n+1)}{2}$$








\((8)\) \((B)\) の式で \(x=-1\) とします。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}P_n’(-1)t^n&=\frac{t}{(1+2t+t^2)^{\frac{3}{2}}}=\frac{t}{(1+t)^3}\\
&=t \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}{}_{n+1}\mathrm{C}_2t^{n-1}=\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}n(n+1)t^{n}\\
\end{alignat}シグマを用いないで表すと
\begin{alignat}{2}
&P_0’(-1)+P_1’(-1)t+P_2’(-1)t^2+ \cdots +P_{n}’(-1)t^{n}+ \cdots \\
&     =\cdots + (-1)^{n-2} \cdot \frac{(n-1)n}{2}t^{n-1}+(-1)^{n-1} \cdot\frac{n(n+1)}{2}t^{n}+(-1)^{n} \cdot\frac{(n+1)(n+2)}{2}t^{n+1}+ \cdots \\
\end{alignat}\(t\) の次数を見て、両辺を比較します。以上より$$P_n’(-1)=(-1)^{n-1} \cdot \frac{n(n+1)}{2}$$

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