ルジャンドル多項式[2]

ルジャンドル多項式について、以下の式が成り立ちます。
\begin{alignat}{2}
&(1)  P_n(-x)=(-1)^nP_n(x)\\
&(2)  P_n’(x)=xP_{n-1}’(x)+nP_{n-1}(x)\\
&(3)  P_{n+1}’(x)-P_{n-1}’(x)=(2n+1)P_n(x)\\
&(4)  xP_n’(x)-P_{n-1}’(x)=nP_n(x)\\
&(5)  P_{n+1}’(x)-xP_n’(x)=(n+1)P_n(x)\\
&(6)  (x^2-1)P_n’(x)=nxP_n(x)-nP_{n-1}(x)\\
\end{alignat}













<証明>

次のロドリグの公式を用います。$$(A)  P_n(x)=\frac{1}{2^nn!} \cdot \frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n$$





\((1)\) \((A)\) の式で \(x=-t\) と置きます。
\begin{alignat}{2}
P_n(-t)&=\frac{1}{2^nn!} \cdot \frac{d^n}{dx^n}(t^2-1)^n\\
&=\frac{1}{2^nn!} \left(\frac{d}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}\right)^n(t^2-1)  \left(\frac{dt}{dx}=-1\right)\\
&=\frac{1}{2^nn!} \left(-\frac{d}{dt}\right)^n(t^2-1)\\
&=\frac{(-1)^n}{2^nn!} \cdot \frac{d^n}{dt^n} (t^2-1)^n=(-1)^nP_n(t)\\
\end{alignat}以上より$$P_n(-x)=(-1)^nP_n(x)$$








\((2)\) \(n\) 回微分は残し、\((x^2-1)^n\) に \(1\) 回だけ微分を作用させます。
\begin{alignat}{2}
P_n’(x)&=\frac{1}{2^nn!} \cdot \frac{d^n}{dx^n} \left\{ \frac{d}{dx}(x^2-1)^n\right\}\\
&=\frac{1}{2^nn!} \cdot \frac{d^n}{dx^n} \{n(x^2-1)^{n-1} \cdot 2x\}\\
&=\frac{1}{2^{n-1} (n-1)!} \cdot \frac{d^n}{dx^n} \{x(x^2-1)^{n-1}\}
\end{alignat}次のライプニッツの微分公式を用います。(詳細はこちらです)$$\{f(x)g(x)\}^{(n)}=\displaystyle\sum_{k=0}^n {}_n \mathrm{C}_k f^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x)$$\(f(x)=(x^2-1)^n,\,g(x)=x\) とすると
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{2^{n-1}(n-1)!} \{f^{(n)}(x)g(x)+nf^{(n-1)}(x)g’(x)\}\\
&=\frac{1}{2^{n-1}(n-1)!} \left\{x \cdot \frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^{n-1}+n\cdot \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(x^2-1)^{n-1} \right\}\\
&=x \cdot \frac{1}{2^{n-1}(n-1)!} \cdot \frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^{n-1}+n \cdot \frac{1}{2^{n-1}(n-1)!} \cdot \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(x^2-1)^{n-1}\\
&=xP_{n-1}’(x)+nP_{n-1}(x)
\end{alignat}以上より$$P_n’(x)=xP_{n-1}’(x)+nP_{n-1}(x)$$







\((3)\) \(P_{n+1}(x)\) について$$P_{n+1}(x)=\frac{1}{2^{n+1}(n+1)!} \cdot \frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}}(x^2-1)^{n+1}$$両辺を \(x\) で微分します。$$P_{n+1}’(x)=\frac{1}{2^{n+1}(n+1)!} \cdot \frac{d^{n}}{dx^{n}}\left\{ \frac{d^2}{dx^2}(x^2-1)^{n+1}\right\}$$\(x\) で \(2\) 回微分している箇所を計算します。
\begin{alignat}{2}
\frac{d^2}{dx^2}(x^2-1)^{n+1}&=\frac{d}{dx}\{(n+1)(x^2-1)^n \cdot 2x\}\\
&=2(n+1) \cdot \frac{d}{dx} \{x(x^2-1)^n\}\\
&=2(n+1) \{(x^2-1)^n+x \cdot n (x^2-1)^{n-1} \cdot 2x\}\\
&=2(n+1) \{(x^2-1)^n+2nx^2(x^2-1)^{n-1}\}\\
&=2(n+1) \{2n(x^2-1)(x^2-1)^{n-1} +2n(x^2-1)^{n-1} +(x^2-1)^n\}\\
&=2(n+1)\{(2n+1)(x^2-1)^n +2n(x^2-1)^{n-1}\}\\
\end{alignat}もとの \(P_{n+1}’(x)\) の式に代入します。
\begin{alignat}{2}
P_{n+1}’(x)&=\frac{1}{2^{n+1}(n+1)!} \cdot \frac{d^n}{dx^n} \left[2(n+1)\{(2n+1)(x^2-1)^n +2n(x^2-1)^{n-1}\}\right]\\
&=\frac{1}{2^n n!} \cdot \frac{d^n}{dx^n} \{(2n+1) (x^2-1)^n+2n(x^2-1)^{n-1}\}\\
&=\frac{2n+1}{2^nn!} \cdot \frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n+\frac{1}{2^{n-1}(n-1)!} \cdot \frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^{n-1}\\
&=(2n+1)P_n(x)+P_{n-1}’(x)
\end{alignat}以上より$$P_{n+1}’(x)-P_{n-1}’(x)=(2n+1)P_n(x)$$







\((4)\) \((2)\) の式の \(n\) を \(n+1\) とします。$$P_{n+1}’(x)=xP_{n}’(x)+(n+1)P_{n}(x)$$\((3)\) の式より$$P_{n+1}’(x)=P_{n-1}’(x)+(2n+1)P_n(x)$$連立させると$$xP_{n}’(x)+(n+1)P_{n}(x)=P_{n-1}’(x)+(2n+1)P_n(x)$$以上より$$xP_n’(x)-P_{n-1}’(x)=nP_n(x)$$








\((5)\) 次の \((3)\) の式から$$P_{n+1}’(x)-P_{n-1}’(x)=(2n+1)P_n(x)$$次の \((4)\) の式$$xP_n’(x)-P_{n-1}’(x)=nP_n(x)$$を引きます。以上より$$P_{n+1}’(x)-xP_n’(x)=(n+1)P_n(x)$$







\((6)\) 次の \((4)\) の式の両辺を \(x\) 倍した式から$$x^2P_n’(x)-xP_{n-1}’(x)=nxP_n(x)$$次の \((2)\) の式$$P_n’(x)-xP_{n-1}’(x)=nP_{n-1}(x)$$を引きます。以上より$$(x^2-1)P_n’(x)=nxP_n(x)-nP_{n-1}(x)$$

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