ルジャンドル多項式[4]

ルジャンドル多項式について、以下の式が成り立ちます。
\begin{alignat}{2}
&(1)  P_1(\cos θ)=\cos θ\\
&(2)  P_2(\cos θ)=\frac{1}{4}(3 \cos 2θ+1)\\
&(3)  P_3(\cos θ)=\frac{1}{8}(5 \cos 3θ+3 \cos θ)\\
&(4)  P_4(\cos θ)=\frac{1}{64}(35 \cos 4θ+20 \cos 2θ +9) \\
&(5)  P_5(\cos θ)=\frac{1}{128}(63 \cos 5θ+35 \cos 3θ +30\cos θ)\\
&(6)  P_6(\cos θ)=\frac{1}{512}(231 \cos 6θ+126 \cos 4θ +105\cos 2θ+50)\\
&(7)  P_7(\cos θ)=\frac{1}{1024}(429 \cos 7θ+231 \cos 5θ +189\cos 3θ+175 \cos θ)\\
&(8)  P_8(\cos θ)=\frac{1}{16384}(6435 \cos 8θ+3432 \cos 6θ +2772\cos 4θ+2520 \cos 2θ+1225)\\
\end{alignat}
















<証明>

次の式を用います。(詳細はこちらです)
\begin{alignat}{2}
&(A)  P_1(x)=x\\
&(B)  P_2(x)=\frac{1}{2}(3x^2-1)\\
&(C)  P_3(x)=\frac{1}{2}(5x^3-3x)\\
&(D)  P_4(x)=\frac{1}{8}(35x^4-30x^2+3)\\
&(E)  P_5(x)=\frac{1}{8}(63x^5-70x^3+15x)\\
&(F)  P_6(x)=\frac{1}{16}(231x^6-315x^4+105x^2-5)\\
&(G)  P_7(x)=\frac{1}{16}(429x^7-693x^5+315x^3-35x)\\
&(H)  P_8(x)=\frac{1}{128}(6435x^8-12012x^6+6930x^4-1260x^2+35)\\
\end{alignat}

また「三角関数の次数下げ」の式はこちらです。



全て上記の式で \(x=\cos θ\) として、三角関数の次数下げを行います。
\begin{alignat}{2}
(1)  P_1(\cos θ)&=\cos θ\\
&\\
&\\
(2)  P_2(\cos θ)&=\frac{1}{2}(3 \cos^2 θ+1)=\frac{1}{4}\{3(1+\cos 2θ)-2\}\\
&=\frac{1}{4}(3 \cos 2θ+1)\\
&\\
&\\
(3)  P_3(\cos θ)&=\frac{1}{2}(5 \cos^3 θ-3 \cos θ)\\
&=\frac{1}{2}\left\{5 \cdot \frac{1}{4}(\cos 3θ+3 \cos θ)-3 \cos θ\right\}\\
&=\frac{1}{8}(5 \cos 3θ+15 \cos θ-12 \cos θ)\\
&=\frac{1}{8}(5 \cos 3θ+3 \cos θ)
&\\
&\\
(4)  P_4(\cos θ)&=\frac{1}{8}(35 \cos^4 θ-30 \cos^2 θ+3)\\
&=\frac{1}{8} \left\{35 \cdot \frac{1}{8}(3+4 \cos 2θ+\cos 4θ)-15 (1+\cos 2θ)+3\right\}\\
&=\frac{1}{64}(105+140 \cos 2θ+35 \cos 4θ-120 -120 \cos 2θ+24)\\
&=\frac{1}{64}(35 \cos 4θ+20 \cos 2θ +9)\\
&\\
&\\
(5)  P_5(\cos θ)&=\frac{1}{8}(63 \cos^ 5θ-70 \cos^3 θ+15 \cos θ)\\
&=\frac{1}{8}\left\{63 \cdot \frac{1}{16}(10 \cos θ+5 \cos 3θ+ \cos 5θ)-70 \cdot \frac{1}{4}(\cos 3θ+3 \cos θ)+15 \cos θ \right\}\\
&=\frac{1}{128} (630 \cos θ+315 \cos 3θ+63 \cos 5θ-280 \cos 3θ-840 \cos θ+240 \cos θ)\\
&=\frac{1}{128}(63 \cos 5θ+35 \cos 3θ +30\cos θ)\\
&\\
&\\
(6)  P_6(\cos θ)&=\frac{1}{16}(231 \cos^6 θ-315 \cos^4 θ+105 \cos^2 θ-5 )\\
&=\frac{1}{16}\left\{231 \cdot \frac{1}{32}(10+15 \cos 2θ+6 \cos 4θ+ \cos 6θ)-315 \cdot \frac{1}{8}(3+4 \cos 2θ+ \cos 4θ)+105 \cdot \frac{1}{2}(1+\cos 2θ)-5 \right\}\\
&=\frac{1}{512}\left\{231(10+15 \cos 2θ+6 \cos 4θ+ \cos 6θ)-1260(3+4 \cos 2θ+ \cos 4θ)+1680 (1+\cos 2θ)-160\right\}\\
&=\frac{1}{512}(2310+3465 \cos 2θ+1386 \cos 4θ+231 \cos 6θ-3780-5040\cos 2θ-1260 \cos 4θ+1680+1680 \cos 2θ-160)\\
&=\frac{1}{512}(231 \cos 6θ+126 \cos 4θ +105\cos 2θ+50)\\
&\\
&\\
(7)  P_7(\cos θ)&=\frac{1}{16} (429 \cos^7 θ-693 \cos^5 θ+315 \cos^3 θ-35 \cos θ )\\
&=\frac{1}{16} \left\{429 \cdot \frac
{1}{64}(35 \cos θ+21 \cos 3θ+7\cos 5θ+\cos 7θ)-693 \cdot \frac{1}{16}(10 \cos θ+5 \cos 3θ+ \cos 5θ)+315 \cdot \frac{1}{4}(3 \cos θ+ \cos 3θ)-35 \cos θ\right\}\\
&=\frac{1}{1024}\left\{429(35 \cos θ+21 \cos 3θ+7\cos 5θ+\cos 7θ)-2772(10 \cos θ+5 \cos 3θ+ \cos 5θ)+5040 (3 \cos θ+\cos 3θ)-2240 \cos θ\right\}\\
&=\frac{1}{1024}\left\{15015 \cos θ+9009 \cos 3θ+3003\cos 5θ+429\cos 7θ-27720 \cos θ-13860 \cos 3θ-2772 \cos 5θ+15120 \cos θ+5040\cos 3θ-2240 \cos θ\right\}\\
&=\frac{1}{1024}(429 \cos 7θ+231 \cos 5θ +189\cos 3θ+175 \cos θ)\\
&\\
&\\
(8)  P_8(\cos θ)&=\frac{1}{128} (6435 \cos^8 θ-12012 \cos^6 θ+6930 \cos^4 θ-1260 \cos^2 θ+35)\\
&=\frac{1}{128}\left\{6435 \cdot \frac{1}{128}(35+56 \cos 2θ+28\cos 4θ+8 \cos 6θ+ \cos 8θ)-12012 \cdot \frac{1}{32} (10+15 \cos 2θ+6 \cos 4θ+\cos 6θ)+6930 \cdot \frac{1}{8}(3+4 \cos 2θ+\cos 4θ)-1260 \cdot \frac{1}{2}(1+\cos 2θ)+35\right\}\\
&=\frac{1}{16384}\left\{6435(35+56 \cos 2θ+28\cos 4θ+8 \cos 6θ+ \cos 8θ)-48048(10+15 \cos 2θ+6 \cos 4θ+\cos 6θ)+110880(3+4 \cos 2θ+\cos 4θ)-80640(1+\cos 2θ)+4480\right\}\\
&=\frac{1}{16384}(225225+360360 \cos 2θ+180180\cos 4θ+51480 \cos 6θ+6435 \cos 8θ-480480-720720 \cos 2θ-288288 \cos 4θ-48048 \cos 6θ+332640+443520 \cos 2θ+110880 \cos 4θ-80640 -80640 \cos 2θ+4480)\\
&=\frac{1}{16384}(6435 \cos 8θ+3432 \cos 6θ +2772\cos 4θ+2520 \cos 2θ+1225)
\end{alignat}  

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