ルジャンドル多項式[6]

ルジャンドル多項式について、以下の式が成り立ちます。
\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_x^1 P_n(t)dt=\frac{1}{2n+1} \{P_{n-1}(x)-P_{n+1}(x)\}\\
&(2)  \displaystyle\int_{-1}^1 P_n(x)P_{n+1}’(x)dx=2\\
&(3)  \displaystyle\int_0^1 P_{n}(x)dx=
\begin{cases}
\displaystyle 0  &(n=2m)\\
\displaystyle (-1)^m \frac{(2m-1)!!}{(2m+2)!!}  &(n=2m+1)\\
\end{cases}\\
&(4)  \displaystyle\int_0^1 x^n P_n(x)dx=\frac{2^n(n!)^2}{(2n+1)!}
\end{alignat}ただし、全て \(n,m \in \mathrm{N}\)










<証明>

次の等式を用います。[詳細はこちらです。(A)(B)(C)(D)(E)]
\begin{alignat}{2}
&(A)  P_{n+1}’(x)-P_{n-1}’(x)=(2n+1)P_n(x)\\
&(B)  \displaystyle\int_{-1}^1 R_{n-1}(x)P_n(x)dx=0\\
&(C)  \displaystyle\int_{-1}^1 P_n(x)P_m(x)dx=\frac{2}{2n+1}δ_{mn}\\
&(D)  P_{2n}(0)=(-1)^n \cdot \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\\
&(E)  P_{2n+1}(0)=0\\
\end{alignat}







\((1)\) \((A)\) の式より$$P_{n+1}’(t)-P_{n-1}’(t)=(2n+1)P_n(t)$$両辺を区間 \([x,1]\) において \(t\) で積分します。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_x^1 \{P_{n+1}’(t)-P_{n-1}’(t)\}dt&=(2n+1)\displaystyle\int_x^1 P_n(t)dt\\
[P_{n+1}(t)-P_{n-1}(t)]_x^1&=(2n+1) \displaystyle\int_x^1 P_n(t)dt\\
P_{n-1}(x)-P_{n+1}(x)&=(2n+1) \displaystyle\int_x^1 P_n(t)dt\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_x^1 P_n(t)dt=\frac{1}{2n+1} \{P_{n-1}(x)-P_{n+1}(x)\}$$







\((2)\) \((A)\) の式より$$P_{n+1}’(x)=P_{n-1}’(x)+(2n+1)P_n(x)$$両辺に \(P_n(x)\) を掛けて、区間 \([-1,1]\) において \(x\) で積分します。$$\displaystyle\int_{-1}^1 P_n(x)P_{n+1}’(x)dx=\displaystyle\int_{-1}^1 P_n(x)P_{n-1}’(x)dx+(2n+1)\displaystyle\int_{-1}^1 \{P_n(x)\}^2dx$$\(P_{n-1}’(x)\) は \(n-2\) 次の多項式だから \((B)\) を用いることができて \(0\) です。

また、右の積分は \((C)\) を用います。よって$$\displaystyle\int_{-1}^1 P_n(x)P_{n+1}’(x)dx=0+(2n+1) \cdot \frac{2}{2n+1}=2$$以上より$$\displaystyle\int_{-1}^1 P_n(x)P_{n+1}’(x)dx=2$$







\((3)\) \((1)\) の式で \(x=0\) とします。$$\displaystyle\int_0^1 P_n(t)dt=\frac{1}{2n+1} \{P_{n-1}(0)-P_{n+1}(0)\}$$
\((α)\) \(n=2m\) のとき

\((E)\) の式を用います。$$\displaystyle\int_0^1 P_{2m}(t)dt=\frac{1}{4m+1} \{P_{2m-1}(0)-P_{2m+1}(0)\}=0$$

\((β)\) \(n=2m+1\) のとき

\((D)\) の式を用います。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^1 P_{2m+1}(t)dt&=\frac{1}{4m+3} \{P_{2m}(0)-P_{2m+2}(0)\}\\
&=\frac{1}{4m+3} \left\{(-1)^m \cdot \frac{(2m-1)!!}{(2m)!!}-(-1)^{m+1} \cdot \frac{(2m+1)!!}{(2m+2)!!}\right\}\\
&=\frac{(-1)^m}{4m+3} \cdot \frac{(2m-1)!!}{(2m)!!}\left(1+\frac{2m+1}{2m+2}\right)\\
&=\frac{(-1)^m}{4m+3} \cdot \frac{(2m-1)!!}{(2m)!!} \cdot \frac{4m+3}{2m+2}=(-1)^m \cdot \frac{(2m-1)!!}{(2m+2)!!}\\
\end{alignat}
以上より
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^1 P_{n}(x)dx=
\begin{cases}
\displaystyle 0  &(n=2m)\\
\displaystyle (-1)^m \frac{(2m-1)!!}{(2m+2)!!}  &(n=2m+1)\\
\end{cases}\\
\end{alignat}








\((4)\) 部分積分を繰り返します。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^1 x^n P_n(x)dx&=\displaystyle\int_0^1 x^n \left\{\frac{1}{2^nn!} \cdot \frac{d^n}{dx^n} (x^2-1)^n\right\}dx=\frac{1}{2^nn!}\displaystyle\int_0^1 x^n \cdot \frac{d^n}{dx^n} (x^2-1)^ndx\\
&=\frac{1}{2^nn!} \left\{\left[x^n \cdot \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(x^2-1)^n\right]_0^1-n\displaystyle\int_0^1 x^{n-1} \cdot \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} (x^2-1)^ndx \right\}\\

&=-\frac{n}{2^nn!} \displaystyle\int_0^1 x^{n-1} \cdot \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} (x^2-1)^ndx \\


&=-\frac{n}{2^nn!}\left\{\left[x^{n-1} \cdot \frac{d^{n-2}}{dx^{n-2}}(x^2-1)^n\right]_0^1-(n-1)\displaystyle\int_0^1 x^{n-2} \cdot \frac{d^{n-2}}{dx^{n-2}} (x^2-1)^ndx \right\}\\
&=\frac{n(n-1)}{2^nn!}\displaystyle\int_0^1 x^{n-2} \cdot \frac{d^{n-2}}{dx^{n-2}} (x^2-1)^ndx\\
&\\
&                \cdots \\
&\\
&=\frac{(-1)^nn!}{2^nn!}\displaystyle\int_0^1 (x^2-1)^ndx=\frac{1}{2^n}\displaystyle\int_0^1 (1-x^2)^ndx\\
\end{alignat}\(x=\sin t\) と置きます。\((dx=\cos t dt)\)
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{2^n}\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos^{2n} t \cdot \cos tdt=\frac{1}{2^n}\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos^{2n+1} tdt\\
&=\frac{1}{2^n} \cdot \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}=\frac{2^nn! \cdot 2^nn!}{2^n(2n+1)!}=\frac{2^n(n!)^2}{(2n+1)!}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 x^n P_n(x)dx=\frac{2^n(n!)^2}{(2n+1)!}$$

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