ルジャンドル多項式[8]

ルジャンドル多項式について、次の式が成り立ちます。
\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_{-1}^1 x\{P_n(x)\}^2dx=0\\
&(2)  \displaystyle\int_{-1}^1 x^2P_{n-1}(x)P_{n+1}’(x)dx=0\\
&(3)  \displaystyle\int_{-1}^1 x^2P_{n}(x)P_{n}’(x)dx=0\\
&(4)  \displaystyle\int_{-1}^1 x^2P_{n}(x)P_{n-1}(x)dx=0\\
\end{alignat}














<証明>

次の等式を用います。(詳細はこちらです)
\begin{alignat}{2}
&(A)  xP_n’(x)-P_{n-1}’(x)=nP_n(x)\\
&(B)  P_{n+1}’(x)-P_{n-1}’(x)=(2n+1)P_n(x)\\
\end{alignat}



\((1)\) \((B)\) の式より$$P_{n+1}’(x)-P_{n-1}’(x)=(2n+1)P_n(x)$$この式の両辺に \(xP_n(x)\) を掛けて区間 \([-1,1]\) において \(x\) で積分します。$$(2n+1)\displaystyle\int_{-1}^1 x\{P_n(x)\}^2dx=\displaystyle\int_{-1}^1 xP_n(x)P_{n+1}’(x)dx-\displaystyle\int_{-1}^1 xP_n(x)P_{n-1}’(x)dx$$右の積分について \(xP_{n-1}’(x)\) は \(n-1\) 次の多項式であるので$$\displaystyle\int_{-1}^1 xP_n(x)P_{n-1}’(x)dx=0$$もう一方の積分は部分積分を行います。
\begin{alignat}{2}
&  (2n+1)\displaystyle\int_{-1}^1 x\{P_n(x)\}^2dx=\displaystyle\int_{-1}^1 xP_n(x)P_{n+1}’(x)dx\\
&=[xP_n(x)P_{n+1}(x)]_{-1}^1-\displaystyle\int_{-1}^1 P_{n+1}(x)\{P_n(x)+xP_{n}’(x)\}dx\\
&=1+P_n(-1)P_{n+1}(-1)-\displaystyle\int_{-1}^1 P_{n+1}(x)P_n(x)dx-\displaystyle\int_{-1}^1 xP_{n+1}(x)P_n’(x)dx\\
\end{alignat}左の積分は明らかに \(n+1≠n\) であるので \(0\)、

右の積分についても、\(xP_n’(x)\) は \(n\) 次の多項式であるので \(0\)、すなわち$$\displaystyle\int_{-1}^1 P_{n+1}(x)P_n(x)dx=0,   \displaystyle\int_{-1}^1 xP_{n+1}(x)P_n’(x)dx=0$$よって、元の積分計算は$$(2n+1)\displaystyle\int_{-1}^1 x\{P_n(x)\}^2dx=1+(-1)^n(-1)^{n+1}=1-1=0$$以上より$$\displaystyle\int_{-1}^1 x\{P_n(x)\}^2dx=0$$









\((2)\) 部分積分を行います。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_{-1}^1 x^2P_{n-1}(x)P_{n+1}’(x)dx\\
&=[x^2P_{n-1}(x)P_{n+1}(x)]_{-1}^1-\displaystyle\int_{-1}^1 P_{n+1}(x)\{2xP_{n-1}(x)+x^2P_{n-1}’(x)\}dx\\
&=1-P_{n-1}(-1)P_{n+1}(-1)-2 \displaystyle\int_{-1}^1 xP_{n+1}(x)P_{n-1}(x)dx-\displaystyle\int_{-1}^1 x^2P_{n+1}(x)P_{n-1}’(x)dx\\
\end{alignat}左の積分については、\(x^2P_{n-1}’(x)\) は \(n\) 次の多項式であるので \(0\)、

右の積分についても、\(x^2P_{n-1}’(x)\) は \(n\) 次の多項式であるので \(0\)。すなわち$$\displaystyle\int_{-1}^1 xP_{n+1}(x)P_{n-1}(x)dx=0,   \displaystyle\int_{-1}^1 x^2P_{n+1}(x)P_{n-1}’(x)dx=0$$よって、元の積分計算は$$\displaystyle\int_{-1}^1 x^2P_{n-1}(x)P_{n+1}’(x)dx=1-(-1)^{n-1}(-1)^{n+1}=1-(-1)^{2n}=0$$以上より$$\displaystyle\int_{-1}^1 x^2P_{n-1}(x)P_{n+1}’(x)dx=0$$








\((3)\) \((A)\) の式より$$xP_n’(x)-P_{n-1}’(x)=nP_n(x)$$両辺に \(xP_{n}(x)\) を掛けて、区間 \([-1,1]\) において \(x\) で積分します。$$\displaystyle\int_{-1}^1 x^2P_{n}(x)P_{n}’(x)dx=\displaystyle\int_{-1}^1 xP_{n}(x)P_{n-1}’(x)dx+n\displaystyle\int_{-1}^1 x\{P_{n}(x)\}^2dx$$左の積分については、\(xP_{n-1}’(x)\) は \(n-1\) 次の多項式であるので \(0\)、

右の積分についても \((1)\) の結果より \(0\)。すなわち$$\displaystyle\int_{-1}^1 xP_{n}(x)P_{n-1}’(x)dx=0,  \displaystyle\int_{-1}^1 x\{P_{n}(x)\}^2dx=0$$以上より$$\displaystyle\int_{-1}^1 x^2P_{n}(x)P_{n}’(x)dx=0$$









\((4)\) \((B)\) の式より$$P_{n+1}’(x)-P_{n-1}’(x)=(2n+1)P_n(x)$$この式の両辺に \(x^2P_{n-1}(x)\) を掛けて区間 \([-1,1]\) において \(x\) で積分します。$$(2n+1)\displaystyle\int_{-1}^1 x^2P_n(x)P_{n-1}(x)dx=\displaystyle\int_{-1}^1 x^2P_{n-1}(x)P_{n+1}’(x)dx-\displaystyle\int_{-1}^1 x^2P_{n-1}(x)P_{n-1}’(x)dx$$\((2)(3)\) の結果より$$\displaystyle\int_{-1}^1 x^2P_{n-1}(x)P_{n+1}’(x)dx=0,  \displaystyle\int_{-1}^1 x^2P_{n-1}(x)P_{n-1}’(x)dx=0$$であるから、以上より$$\displaystyle\int_{-1}^1 x^2P_{n}(x)P_{n-1}(x)dx=0$$

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