ルジャンドル多項式[9]

ルジャンドル多項式について、次の式が成り立ちます。
\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_{-1}^1 xP_{n-1}(x)P_{n+1}’(x)dx=2\\
&(2)  \displaystyle\int_{-1}^1 xP_{n}(x)P_{n}’(x)dx=\frac{2n}{2n+1}\\
&(3)  \displaystyle\int_{-1}^1 xP_{n}(x)P_{n-1}(x)dx=\frac{2n}{4n^2-1}\\
&(4)  \displaystyle\int_{-1}^1 (1-x^2)\{P_{n}’(x)\}^2dx=\frac{2n(n+1)}{2n+1}\\
\end{alignat}












<証明>

次の等式を用います。[詳細はこちらです。(A)(B)(C)(D)]
\begin{alignat}{2}
&(A)  \displaystyle\int_{-1}^1 \{P_{n}(x)\}^2dx=\frac{2}{2n+1}\\
&(B)  P_{n+1}’(x)-P_{n-1}’(x)=(2n+1)P_n(x)\\
&(C)  P_n’(x)=xP_{n-1}’(x)+nP_{n-1}(x)\\
&(D)  xP_n’(x)=P_{n-1}’(x)+nP_n(x)
\end{alignat}




\((1)\) 部分積分を行います。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_{-1}^1 xP_{n-1}(x)P_{n+1}’(x)dx\\
&=[xP_{n-1}(x)P_{n+1}(x)]_{-1}^1-\displaystyle\int_{-1}^1 P_{n+1}\{P_{n-1}(x)+xP_{n-1}’(x)\}dx\\
&=1+P_{n-1}(-1)P_{n+1}(-1)-\displaystyle\int_{-1}^1 P_{n+1}P_{n-1}(x)dx-\displaystyle\int_{-1}^1 xP_{n+1}P_{n-1}’(x)dx\\
\end{alignat}左の積分は明らかに \(n+1≠n-1\) であるので \(0\)、

右の積分についても \(xP_{n-1}’(x)\) は \(n-1\) 次の多項式であるので \(0\)。すなわち$$\displaystyle\int_{-1}^1 P_{n+1}P_{n-1}(x)dx=0,  \displaystyle\int_{-1}^1 xP_{n+1}P_{n-1}’(x)dx=0$$よって、元の積分計算は$$\displaystyle\int_{-1}^1 xP_{n-1}(x)P_{n+1}’(x)dx=1+(-1)^{n-1}(-1)^{n+1}=1+(-1)^{2n}=2$$以上より$$\displaystyle\int_{-1}^1 xP_{n-1}(x)P_{n+1}’(x)dx=2$$








\((2)\) 部分積分を行います。\((A)\) の式を用います。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_{-1}^1 xP_{n}(x)P_{n}’(x)dx&=[xP_n(x)P_n(x)]_{-1}^1-\displaystyle\int_{-1}^1 P_{n}(x)\{P_n(x)+xP_{n}’(x)\}dx\\
&=1+P_{n}(-1)P_{n}(-1)-\displaystyle\int_{-1}^1 \{P_{n}(x)\}^2dx-\displaystyle\int_{-1}^1 xP_{n}(x)P_{n}’(x)dx\\
2\displaystyle\int_{-1}^1 xP_{n}(x)P_{n}’(x)dx&=1+(-1)^n(-1)^n-\frac{2}{2n+1}\\
&=2-\frac{2}{2n+1}=2 \cdot \frac{2n}{2n+1}
\end{alignat}両辺を \(2\) で割ります。以上より$$\displaystyle\int_{-1}^1 xP_{n}(x)P_{n}’(x)dx=\frac{2n}{2n+1}$$







\((3)\) 次の \((B)\) の式より$$P_{n+1}’(x)-P_{n-1}’(x)=(2n+1)P_n(x)$$両辺に \(xP_{n-1}(x)\) を掛けて、区間 \([-1,1]\) において \(x\) で積分します。$$(2n+1)\displaystyle\int_{-1}^1 xP_{n}(x)P_{n-1}(x)dx=\displaystyle\int_{-1}^1 xP_{n-1}(x)P_{n+1}’(x)dx-\displaystyle\int_{-1}^1 xP_{n-1}(x)P_{n-1}’(x)dx$$\((2)(3)\) の結果を用います。
\begin{alignat}{2}
(2n+1)\displaystyle\int_{-1}^1 xP_{n}(x)P_{n-1}(x)dx&=2-\frac{2(n-1)}{2(n-1)+1}=2-\frac{2n-2}{2n-1}\\
&=\frac{2(2n-1)-(2n-1)}{2n-1}=\frac{2n}{2n-1}\\
\end{alignat}両辺を \(2n+1\) で割ります。以上より$$\displaystyle\int_{-1}^1 xP_{n}(x)P_{n-1}(x)dx=\frac{2n}{4n^2-1}$$








\((4)\) 求める定積分を \(I_n\) と置きます。\((C)\) の式を代入します。
\begin{alignat}{2}
I_n&=\displaystyle\int_{-1}^1 (1-x^2)\{P_{n}’(x)\}^2dx\\
&=\displaystyle\int_{-1}^1 (1-x^2)P_{n}’(x)\{xP_{n-1}’(x)+nP_{n-1}(x)\}dx\\
&=\displaystyle\int_{-1}^1 (1-x^2)P_{n-1}’(x) \cdot xP_{n}’(x)dx+n\displaystyle\int_{-1}^1 (1-x^2)P_{n-1}(x)P_n’(x)dx\\
\end{alignat}左に積分において \((D)\) の式を代入します。
\begin{alignat}{2}
&=\displaystyle\int_{-1}^1 (1-x^2)P_{n-1}’(x) \{P_{n-1}’(x)+nP_n(x)\}dx+n\displaystyle\int_{-1}^1 (1-x^2)P_{n-1}(x)P_n’(x)dx\\
&=\displaystyle\int_{-1}^1 (1-x^2)\{P_{n-1}’(x)\}^2dx+n\displaystyle\int_{-1}^1 (1-x^2)P_{n-1}’(x)P_n(x)dx+n\displaystyle\int_{-1}^1 (1-x^2)P_{n-1}(x)P_n’(x)dx\\
&=I_{n-1}+n\displaystyle\int_{-1}^1 (1-x^2)\{P_{n-1}(x)P_n(x)\}’dx\\
&=I_{n-1}+n \left\{[(1-x^2)P_{n-1}(x)P_n(x)]_{-1}^1+\displaystyle\int_{-1}^1 2x P_{n-1}(x)P_n(x)dx\right\}\\
&=I_{n-1}+2n\displaystyle\int_{-1}^1 x P_{n-1}(x)P_n(x)dx\\
\end{alignat}\((3)\) の式を用います。
\begin{alignat}{2}
I_n&=I_{n-1}+2n \cdot \frac{2n}{4n^2-1}=I_{n-1}+1+\frac{1}{4n^2-1}\\
&=I_{n-1}+1+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=I_{n-1}+1+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)\\
\end{alignat}ところで \(I_0\) は \(P_0’(x)=0\) であるから$$I_0=\displaystyle\int_{-1}^1 (1-x^2)\{P_0(x)\}^2dx=0$$よって、次の漸化式を得ます。$$I_n-I_{n-1}=1+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right),   I_0=0$$両辺にシグマを付けます。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\sum_{k=1}^n (I_k-I_{k-1})&=n+\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)\\
I_n&=n+\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)=n+\frac{1}{2}\cdot \frac{2n}{2n+1}\\
&=n+\frac{n}{2n+1}=n\left(1+\frac{1}{2n+1}\right)=n \cdot \frac{2n+2}{2n+1}=\frac{2n(n+1)}{2n+1}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_{-1}^1 (1-x^2)\{P_{n}’(x)\}^2dx=\frac{2n(n+1)}{2n+1}$$

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