ルジャンドル多項式[5]

ルジャンドル多項式について、以下の式が成り立ちます。

\((1)\) \(R_{n-1}(x)\) を \(n-1\) 次以下の多項式とすると$$\displaystyle\int_{-1}^1 R_{n-1}(x)P_n(x)dx=0$$

\((2)\) \(δ_{mn}\) はクロネッカーのデルタとすると$$\displaystyle\int_{-1}^1 P_n(x)P_m(x)dx=\frac{2}{2n+1}δ_{mn}$$














<証明>

\((1)\) 次の定積分を計算します。ただし \(m \lt n\) とします。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_{-1}^1 x^m P_n(x)dx&=\displaystyle\int_{-1}^1 x^m \cdot \frac{1}{2^nn!} \cdot \frac{d^n}{dx^n} (x^2-1)^ndx\\
&=\frac{1}{2^nn!} \left\{\left[x^m \cdot \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} (x^2-1)^n\right]_{-1}^1 -m \displaystyle\int_{-1}^1 x^{m}\cdot \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} (x^2-1)^ndx\right\}\\
&=-\frac{m}{2^nn!} \displaystyle\int_{-1}^1 x^{m-1} \cdot \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(x^2-1)^ndx\\
&=-\frac{m}{2^nn!} \left\{\left[x^{m-1} \cdot \frac{d^{n-2}}{dx^{n-2}} (x^2-1)^n\right]_{-1}^1 -(m-1) \displaystyle\int_{-1}^1 x^{m-2}\cdot \frac{d^{n-2}}{dx^{n-2}} (x^2-1)^ndx\right\}\\
&=\frac{m(m-1)}{2^nn!} \displaystyle\int_{-1}^1 x^{m-2}\cdot \frac{d^{n-2}}{dx^{n-2}} (x^2-1)^ndx\\
&\\
&              \cdots \\
\end{alignat}
部分積分を \(x\) の次数が \(0\) になるまで行います。
\begin{alignat}{2}
&=\frac{(-1)^mm!}{2^nn!} \displaystyle\int_{-1}^1 \frac{d^{n-m}}{dx^{n-m}} (x^2-1)^ndx\\
&=\frac{(-1)^mm!}{2^nn!} \left[\frac{d^{n-m-1}}{dx^{n-m-1}} (x^2-1)^n\right]_{-1}^1=0\\
\end{alignat}よって$$\displaystyle\int_{-1}^1 x^m P_n(x)dx=0  (m \lt n)  \cdots (A)$$
\(R_{n-1}(x)\) は \(n-1\) 次以下の多項式なので、次のように書けます。$$R_{n-1}(x)=a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+ \cdots +a_{n-1}x+a_n$$この式を代入して \((A)\) の式を用います。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_{-1}^1 R_{n-1}(x)P_n(x)dx\\
&=\displaystyle\int_{-1}^1 (a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+ \cdots +a_{n-1}x+a_n)P_n(x)dx\\
&=a_1\displaystyle\int_{-1}^1 x^{n-1}P_n(x)dx+a_2\displaystyle\int_{-1}^1 x^{n-2}P_n(x)dx+ \cdots +a_{n-1}\displaystyle\int_{-1}^1 xP_n(x)dx+a_n\displaystyle\int_{-1}^1 P_n(x)dx=0\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_{-1}^1 R_{n-1}(x)P_n(x)dx=0$$











\((2)\) \((α)\) \(m≠n\) のとき

次のルジャンドルの微分方程式より$$(1-x^2)P_n’’(x)-2xP_n’(x)+n(n+1)P_n(x)=0$$左の \(2\) 項の変形を行います。$$\frac{d}{dx}\{(1-x^2)P_n’(x)\}+n(n+1)P_n(x)=0$$移行します。$$n(n+1)P_n(x)=-\frac{d}{dx}\{(1-x^2)P_n’(x)\}$$両辺に \(P_m(x)\) を掛けて、区間 \([-1,1]\) で積分します。ただし \(n≠m\)。
\begin{alignat}{2}
n(n+1)\displaystyle\int_{-1}^1 P_n(x)P_m(x)dx&=-\displaystyle\int_{-1}^1 P_m(x) \cdot \frac{d}{dx}\{(1-x^2)P_n’(x)\}dx\\
&=-[P_m(x) \cdot (1-x^2)P_n’(x)]_{-1}^1 +\displaystyle\int_{-1}^1 P_m’(x) \cdot (1-x^2)P_n’(x)dx\\
&=\displaystyle\int_{-1}^1 (1-x^2) P_n’(x)P_m’(x)dx  \cdots (B)\\
\end{alignat}
同様にルジャンドルの微分方程式の \(n\) を \(m\) とした式を用意します。
\begin{alignat}{2}
(1-x^2)P_m’’(x)-2xP_m’(x)+m(m+1)P_m(x)&=0\\
\frac{d}{dx}\{(1-x^2)P_m’(x)\}+m(m+1)P_m(x)&=0\\
m(m+1)P_m(x)&=-\frac{d}{dx}\{(1-x^2)P_m’(x)\}\\
\end{alignat}両辺に \(P_n(x)\) を掛けて、区間 \([-1,1]\) で積分します。
\begin{alignat}{2}
m(m+1)\displaystyle\int_{-1}^1 P_n(x)P_m(x)dx&=-\displaystyle\int_{-1}^1 P_n(x) \cdot \frac{d}{dx}\{(1-x^2)P_m’(x)\}dx\\
&=-[P_n(x) \cdot (1-x^2)P_m’(x)]_{-1}^1 +\displaystyle\int_{-1}^1 P_n’(x) \cdot (1-x^2)P_m’(x)dx\\
&=\displaystyle\int_{-1}^1 (1-x^2) P_n’(x)P_m’(x)dx  \cdots (C)\\
\end{alignat}\((B)\) と \((C)\) の式は等しいので、等号で繋ぎます。$$n(n+1)\displaystyle\int_{-1}^1 P_n(x)P_m(x)dx=m(m+1)\displaystyle\int_{-1}^1 P_n(x)P_m(x)dx$$移行します。$$\{n(n+1)-m(m+1)\}\displaystyle\int_{-1}^1 P_n(x)P_m(x)dx=0$$\(m≠n\) であるので両辺を \(n(n+1)-m(m+1)\) で割ります。よって$$\displaystyle\int_{-1}^1 P_n(x)P_m(x)dx=0  (m≠n)$$



\((β)\) \(m=n\) のとき

ルジャンドル関数の母関数より$$\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} P_n(x)t^n  (|x| \leq 1,\,t \lt 1)$$両辺を \(2\) 乗してから、区間 \([-1,1]\) で積分します。$$\displaystyle\int_{-1}^1 \frac{1}{1-2xt+t^2}dx=\displaystyle\int_{-1}^1 \left\{\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} P_n(x)t^n\right\}^2dx$$
左辺を計算します。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_{-1}^1 \frac{1}{1-2xt+t^2}dx&=\left[-\frac{1}{2t} \log (1-2xt+t^2)\right]_{-1}^1\\
&=-\frac{1}{2t} \left\{\log (1-2t+t^2)-\log (1+2t+t^2)\right\}\\
&=\frac{1}{t} \{\log (1+t)-\log (1-t)\}\\
&=\frac{1}{t} \log \frac{1+t}{1-t}=\frac{2}{t} \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^{2n+1}}{2n+1}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{2n+1}t^{2n}\\
\end{alignat}
右辺を計算します。\((α)\) の結果を用います。$$\displaystyle\int_{-1}^1 \left\{\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} P_n(x)t^n\right\}^2dx=\displaystyle\int_{-1}^1 \left[\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \{P_n(x)\}^2t^{2n}\right]dx=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left[\displaystyle\int_{-1}^1 \{P_n(x)\}^2dx\right]t^{2n}$$
よって、元の式は次のようになります。$$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{2n+1}t^{2n}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left[\displaystyle\int_{-1}^1 \{P_n(x)\}^2dx\right]t^{2n}$$係数部分を比較すれば$$\displaystyle\int_{-1}^1 \{P_n(x)\}^2dx=\frac{2}{2n+1}$$
\((α)(β)\) を合わせて書きます。以上より$$\displaystyle\int_{-1}^1 P_n(x)P_m(x)dx=\frac{2}{2n+1}δ_{mn}$$

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です