リュカ数

\((1)\)  リュカ数 \(L_n\) の漸化式
\begin{cases}
L_0=2  , L_1=1\\
L_{n+2}=L_{n+1}+L_n
\end{cases}
上記の漸化式を解くことで得られるリュカ数の一般項$$L_n=\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n+\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n$$

\((2)\) リュカ数の母関数$$g(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} L_n x^n=\frac{2-x}{1-x-x^2}$$









<証明>

\((1)\) \(L_{n+2}-L_{n+1}-L_n=0\) (三項間漸化式の特性方程式を解きます。)
$$\displaystyle x^2-x-1=0, x=\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$$二つの解を次のように \(α,β\) とします。$$ \displaystyle α=\frac{1-\sqrt{5}}{2} ,  β=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$すると元の漸化式は次のように表せます。
\begin{cases}
L_{n+2}-αL_{n+1}=β(L_{n+1}-αL_n)\\
L_{n+2}-βL_{n+1}=α(L_{n+1}-βL_n)
\end{cases} それぞれ解くと
\begin{cases}
L_{n+1}-αL_n=β^n(L_1-αL_0)   \cdots(A)\\
L_{n+1}-βL_n=α^n(L_1-βL_0)   \cdots(B)
\end{cases}\((A)-(B)\) を計算します。$$(β-α)L_n=β^n(L_1-αL_0)-α^n(L_1-βL_0) $$ 上の式を部分的に計算すると
$$ L_1-αL_0=1-2α=1-2 \cdot \frac{1-\sqrt{5}}{2}=1-(1-\sqrt{5})=\sqrt{5}$$$$ L_1-βL_0=1-2β=1-2 \cdot \frac{1+\sqrt{5}}{2}=1-(1-\sqrt{5})=-\sqrt{5}$$$$ β-α=\frac{1+\sqrt{5}}{2}-\frac{1-\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}$$よって元の式は \(\sqrt{5}L_n=\sqrt{5}(β^n+α^n)\) となるので、以上より$$L_n=\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n+\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n$$







\((2)\) 母関数の級数は次のようになります。$$g(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} L_nx^n=L_0+L_1x+L_2x^2+L_3x^3+L_4x^4+ \cdots  (C)$$両辺に \(x\) を掛けます。$$xg(x)=L_0x+L_1x^2+L_2x^3+L_3x^4+L_4x^5+ \cdots  (D)$$\((C)+(D)\) を計算します。
\begin{alignat}{2}
g(x)+xg(x)&=L_0+(L_0+L_1)x+(L_1+L_2)x^2+(L_2+L_3)x^3+(L_3+L_4)x^4+ \cdots \\
&\\
&=2+L_2x+L_3x^2+L_4x^3+L_5x^4+L_6x^5+ \cdots\\
\end{alignat}右辺の \(2\) を左辺に移項して、両辺に \(L_1=1\) を加えます。$$(1+x)g(x)-1=L_1+L_2x+L_3x^2+L_4x^3+L_5x^4+L_6x^5+ \cdots$$両辺に \(x\) を掛けます。$$x(1+x)g(x)-x=L_1x+L_2x^2+L_3x^3+L_4x^4+L_5x^5+L_6x^6+ \cdots$$両辺に \(L_0\,(=2)\) を加えます。$$x(1+x)g(x)-x+2=L_0+L_1x+L_2x^2+L_3x^3+L_4x^4+L_5x^5+L_6x^6+ \cdots=g(x)$$ 移行して整理します。$$g(x)=x(1+x)g(x)-x+2,  (1-x-x^2)g(x)=2-x$$両辺を \(1-x-x^2\) で割ります。以上より$$g(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} L_n x^n=\frac{2-x}{1-x-x^2}$$

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