サイクロイド

サイクロイド…円上の定点を原点に配置して、円が \(x\) 軸上を滑らずに転がるときに、その定点が描く軌跡。

\((1)\) パラメータ表示 
\begin{cases}
x=a(θ- \sin θ)\\
y=a(1- \cos θ)\\
\end{cases}
\((2)\) 曲線と \(x\) 軸によって囲まれた部分の面積 \(S=3πa^2\)

\((3)\) 曲線の長さ \(L=8a\)

\((4)\) \(x\) 軸回りに回転させたときの立体の体積  \(\displaystyle V=5π^2a^3\)

\((5)\) \(x\) 軸回りに回転させたときの立体の表面積  \(\displaystyle S=\frac{64}{3}πa^2\)

\((6)\) サイクロイドの微分方程式   \(y\{(y’)^2+1\}=2a\)







\((1)\) パラメータ表示の導出

上図は半径 \(a\) の円が、円周上の定点 \(P\) を原点に置いた状態から、右にその中心角が \(θ\) となるように動いた図です。点 \(P\) の移動後は点 \(P_1\) です。よって 点 \(P_1\) を追います。
\begin{alignat}{2}
&\overrightarrow{OP_1}=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} OC-CD \\ DP_1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \stackrel{\Large\frown}{CP_1}-AB \\ DB+BP_1 \end{pmatrix} \\
&   =\begin{pmatrix} aθ-a \cos (θ-90) \\ a+a \sin (θ-90) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} aθ-a \sin θ \\ a+a \cos θ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a(θ- \sin θ) \\ a(1- \cos θ) \end{pmatrix}
\end{alignat}\begin{cases}
x=a(θ- \sin θ)\\
y=a(1- \cos θ)
\end{cases}







\((2)\) 曲線と \(x\) 軸によって囲まれた部分の面積
\begin{alignat}{2}
&S=\displaystyle\int_0^{2π} ydx=\displaystyle\int_0^{2π} y \cdot \frac{dx}{dθ}dθ   \left[\frac{dx}{dθ}=a(1- \cos θ)\right]\\
& = \displaystyle\int_0^{2π} a^2(1- \cos θ)^2 dθ\\
& =a^2 \displaystyle\int_0^{2π} (1-2 \cos θ+ \cos^2 θ) dθ\\
& =a^2 \displaystyle\int_0^{2π} \left(1-2 \cos θ+\frac{1+ \cos 2θ}{2}\right)dθ\\
& =a^2 \displaystyle\int_0^{2π} \left(\frac{3}{2}-2 \cos θ+\frac{1}{2} \cos 2θ\right)dθ\\
& =a^2\left[\frac{3}{2}π-2 \sin θ+\frac{1}{4} \sin 2θ\right]_0^{2π}=3πa^2
\end{alignat}







\((3)\) 曲線の長さ

    \(\displaystyle \frac{dy}{dθ}=a \sin θ\) であるから
\begin{alignat}{2}
&\left(\frac{dx}{dθ}\right)^2+\left(\frac{dy}{dθ}\right)^2=a^2(1- \cos θ)^2+a^2 \sin^2 θ\\
&               =a^2(1-2 \cos θ+ \cos^2 θ+ \sin^2 θ)\\
&               =a^2(2-2 \cos θ)=2a^2(1- \cos θ)=4a^2 \sin^2 \frac{θ}{2}\\
\end{alignat}となるので
\begin{alignat}{2}
&L= \displaystyle\int_0^{2π} \sqrt{\left(\frac{dx}{dθ}\right)^2+\left(\frac{dy}{dθ}\right)^2}dθ\\
& =\displaystyle\int_0^{2π} 2a\left| \sin \frac{θ}{2}\right|dθ
=4a \displaystyle\int_0^{π} \sin \frac{θ}{2}dθ\\
& =4a\left[-2 \cos \frac{θ}{2}\right]_0^π=8a
\end{alignat}






\((4)\) \( x\)軸回りに回転させたときの立体の体積
\begin{alignat}{2}
&V=π\displaystyle\int_0^{2π} y^2dx=π\displaystyle\int_0^{2π} a^2(1- \cos θ)^2 a(1- \cos θ)dθ\\
& =π\displaystyle\int_0^{2π} a^3(1- \cos θ)^3dθ=8πa^3 \displaystyle\int_0^{2π} \left(\frac{1- \cos θ}{2}\right)^3dθ\\
& =8πa^3 \displaystyle\int_0^{2π} \sin^6 \frac{θ}{2}dθ  \left[\frac{θ}{2}=t, dθ=2dt\right]\\
& =16πa^3 \displaystyle\int_0^π \sin^6 tdt=32πa^3 \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin^6 tdt\\
& =32πa^3\cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2}=5π^2a^3
\end{alignat}






\((5)\) \(x\) 軸回りに回転させたときの立体の表面積
\begin{alignat}{2}
&S=2π \displaystyle\int_0^{2π}y \sqrt{\left(\frac{dx}{dθ}\right)^2+\left(\frac{dy}{dθ}\right)^2}dθ \\
& =2π \displaystyle\int_0^{2π} a(1- \cos θ)2a\left| \sin \frac{θ}{2}\right|dθ\\
& =4πa^2 \displaystyle\int_0^{2π} 2 \sin^2 \frac{θ}{2} \left| \sin \frac{θ}{2}\right|dθ  \left[\frac{θ}{2}=t, dθ=2dt\right]\\
& =8πa^2 \displaystyle\int_0^π \sin^2 t | \sin t| 2dt \\
& =16πa^2 \displaystyle\int_0^π \sin^3 tdt\\
& =32πa^2 \displaystyle\int_0^\frac{π}{2} \sin^3 tdt\\
& =32πa^2\cdot \frac{2}{3}\cdot 1=\frac{64}{3}πa^2
\end{alignat}





\((6)\) サイクロイドの微分方程式
\begin{alignat}{2}
&\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dθ}\cdot\frac{dθ}{dx}\\
&   =a \sin θ \cdot \frac{1}{a(1- \cos θ)}=\frac{ \sin θ}{1- \cos θ}\\
&y\{(y’)^2+1\}=a(1- \cos θ)\left\{\frac{ \sin^2 θ}{(1- \cos θ)^2}+1\right\}\\
&          =\frac{a}{1- \cos θ}\{ \sin^2 θ+(1- \cos θ)^2\}\\
&          =\frac{a}{1- \cos θ}( \sin^2 θ+1-2 \cos θ+ \cos^2 θ)\\
&          =\frac{a}{1- \cos θ}(2-2 \cos θ)\\
&          =\frac{a}{1- \cos θ}\cdot 2(1- \cos θ)=2a
\end{alignat}$$ y\{(y’)^2+1\}= 2a $$

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