三角分布

次の確率分布を「三角分布」と呼びます。
\begin{alignat}{2}
f(x)=
\begin{cases}
\displaystyle \frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)}  (a \leq x \leq c)\\
\displaystyle \frac{2}{b-a}  (x=c)\\
\displaystyle \frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)}  (c \leq x \leq b)\\
\end{cases}
\end{alignat}

期待値は$$E[X]=\frac{a+b+c}{3}$$分散は$$V[X]=\frac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}{18}$$累積分布関数は
\begin{alignat}{2}
F(x)=
\begin{cases}
\displaystyle \frac{(x-a)^2}{(b-a)(c-a)}  (a \leq x \leq c)\\
\displaystyle 1-\frac{(b-x)^2}{(b-a)(b-c)}  (c \leq x \leq b)\\
\end{cases}
\end{alignat}となります。








<証明>

\((1)\) 全確率「\(1\)」を確認します。$$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx=\displaystyle\int_a^b f(x)dx=(b-a) \cdot \frac{2}{b-a} \cdot \frac{1}{2}=1$$







\((2)\) 期待値を計算します。
\begin{alignat}{2}
E[X]&=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} xf(x)dx=\displaystyle\int_a^b xf(x)dx\\
&=\displaystyle\int_a^c x \cdot \frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)}dx+\displaystyle\int_c^b x \cdot \frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)}dx\\
&=\frac{2}{(b-a)(c-a)}\displaystyle\int_a^c (x^2-ax)dx+\frac{2}{(b-a)(b-c)}\displaystyle\int_c^b (bx-x^2)dx\\
&=\frac{2}{b-a}\left\{\frac{1}{c-a}\left[\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}ax^2\right]_a^c+\frac{1}{b-c}\left[\frac{1}{2}bx^2-\frac{1}{3}x^3\right]_c^b\right\}\\
&=\frac{2}{b-a}\left\{\frac{1}{c-a}\left(\frac{1}{3}c^3-\frac{1}{2}ac^2-\frac{1}{3}a^3+\frac{1}{2}a^3\right)+\frac{1}{b-c}\left(\frac{1}{2}b^3-\frac{1}{3}b^3-\frac{1}{2}bc^2+\frac{1}{3}c^3\right)\right\}\\
&=\frac{2}{b-a}\left(\frac{1}{c-a}\cdot \frac{2c^3-3ac^2+a^3}{6}+\frac{1}{b-c} \cdot \frac{b^3-3bc^2+2c^3}{6}\right)\\
&=\frac{2}{b-a}\left\{\frac{1}{c-a}\cdot \frac{(c-a)(2c^2-ac-a^2)}{6}+\frac{1}{b-c} \cdot \frac{(c-b)(2c^2-bc-b^2)}{6}\right\}\\
&=\frac{2}{b-a}\left(\frac{2c^2-ac-a^3}{6}-\frac{2c^2-bc-b^2}{6}\right)\\
&=\frac{1}{b-a}\cdot \frac{b^2-a^2+bc-ac}{3}=\frac{1}{b-a} \cdot \frac{(b-a)(b+a)+(b-a)c}{3}\\
&=\frac{1}{b-a}\cdot \frac{(b-a)(a+b+c)}{3}=\frac{a+b+c}{3}
\end{alignat}以上より$$E[X]=\frac{a+b+c}{3}$$







\((2)\) 分散を求めるために、まず \(E[X^2]\) を計算します。
\begin{alignat}{2}
E[X^2]&=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x^2f(x)dx=\displaystyle\int_a^b x^2f(x)dx\\
&=\displaystyle\int_a^c x^2 \cdot \frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)}dx+\displaystyle\int_c^b x^2 \cdot \frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)}dx\\
&=\frac{2}{(b-a)(c-a)}\displaystyle\int_a^c (x^3-ax^2)dx+\frac{2}{(b-a)(b-c)}\displaystyle\int_c^b (bx^2-x^3)dx\\
&=\frac{2}{b-a}\left\{\frac{1}{c-a}\left[\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{3}ax^3\right]_a^c+\frac{1}{b-c}\left[\frac{1}{3}bx^3-\frac{1}{4}x^4\right]_c^b\right\}\\

&=\frac{2}{b-a}\left\{\frac{1}{c-a}\left(\frac{1}{4}c^4-\frac{1}{3}ac^3-\frac{1}{4}a^4+\frac{1}{3}a^4\right)+\frac{1}{b-c}\left(\frac{1}{3}b^4-\frac{1}{4}b^4-\frac{1}{3}bc^3+\frac{1}{4}c^4\right)\right\}\\
&=\frac{2}{b-a}\left(\frac{1}{c-a}\cdot \frac{3c^4-4ac^3+a^4}{12}+\frac{1}{b-c} \cdot \frac{b^4-4bc^3+3c^4}{12}\right)\\
&=\frac{2}{b-a}\left\{\frac{1}{c-a}\cdot \frac{(c-a)(3c^3-ac^2-a^2c-a^3)}{12}+\frac{1}{b-c} \cdot \frac{(c-b)(3c^3-bc^2-b^2c-b^3)}{12}\right\}\\
&=\frac{2}{b-a}\left(\frac{3c^3-ac^2-a^2c-a^3}{6}-\frac{3c^3-bc^2-b^2c-b^3}{6}\right)\\
&=\frac{1}{b-a}\cdot \frac{b^3-a^3+bc^2-ac^2+b^2c-a^2c}{6}=\frac{1}{b-a} \cdot \frac{(b-a)(b^2+ab+a^2)+(b-a)c^2+(b-a)(b+a)c}{6}\\
&=\frac{b^2+ab+a^2+c^2+(b+a)c}{6}=\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{6}
\end{alignat}となるので、分散 \(V[X]\) は
\begin{alignat}{2}
V[X]&=E[X^2]-E[X]^2=\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{6}-\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2\\
&=\frac{3(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)-2(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)}{18}\\
&=\frac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}{18}
\end{alignat}以上より$$V[X]=\frac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}{18}$$







\((3)\) 累積分布関数を求めます。

\((α)\) \(a \leq x \leq c\) のとき
\begin{alignat}{2}
F(x)&=\displaystyle\int_{-\infty}^x f(t)dt=\displaystyle\int_a^x \frac{2(t-a)}{(b-a)(c-a)}dt=\frac{2}{(b-a)(c-a)}\displaystyle\int_a^x (t-a)dt\\
&=\frac{2}{(b-a)(c-a)}\left[\frac{1}{2}(t-a)^2\right]_a^x=\frac{(x-a)^2}{(b-a)(c-a)}\\
\end{alignat}
\((β)\) \(c \leq x \leq b\) のとき
\begin{alignat}{2}
F(x)&=\displaystyle\int_{-\infty}^x f(t)dt=1-\displaystyle\int_x^b \frac{2(b-t)}{(b-a)(b-c)}dt=1-\frac{2}{(b-a)(b-c)}\displaystyle\int_x^b (b-t)dt\\
&=1-\frac{2}{(b-a)(b-c)}\left[-\frac{1}{2}(b-t)^2\right]_x^b=1-\frac{(b-x)^2}{(b-a)(b-c)}\\
\end{alignat}以上より
\begin{alignat}{2}
F(x)=
\begin{cases}
\displaystyle \frac{(x-a)^2}{(b-a)(c-a)}  (a \leq x \leq c)\\
\displaystyle 1-\frac{(b-x)^2}{(b-a)(b-c)}  (c \leq x \leq b)\\
\end{cases}
\end{alignat}

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