三角関数の無限乗積

三角関数の無限積は以下の式で表されます。
\begin{alignat}{2}
&(1) \sin πx=πx \displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{x^2}{n^2}\right)\\
&(2) \cos πx=\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty} \left\{1-\frac{x^2}{\left(n-\frac{1}{2}\right)^2}\right\}\\
&(3) \sinh πx=πx \displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{x^2}{n^2}\right) \\
&(4) \cosh πx=\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty} \left\{1+\frac{x^2}{\left(n-\frac{1}{2}\right)^2}\right\}
\end{alignat}


\((3)(4)\) より得られる級数表示
\begin{alignat}{2}
&(A) \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{x^2+n^2}=\frac{πx \coth πx-1}{2x^2}  (x ≠0)\\
&(B) \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2x}{x^2+\left(n-\frac{1}{2}\right)^2}=π \tanh πx\\
\end{alignat}







<導出>

\((1)\)  \( \sin πx\) は \(x=0,\pm1,\pm2,\pm3\cdots\) を解に持つので
\begin{alignat}{2}
&\sin πx=ax\left(1-\frac{x}{1}\right)\left(1+\frac{x}{1}\right)\left(1-\frac{x}{2}\right)\left(1+\frac{x}{2}\right)\left(1-\frac{x}{3}\right)×\cdots\\
&     =ax\left(1-\frac{x^2}{1^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{2^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{3^2}\right)×\cdots
\end{alignat} 両辺を \(πx\) で割ります。$$\frac{\sin πx}{πx}=\frac{a}{π}\left(1-\frac{x^2}{1^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{2^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{3^2}\right)×\cdots $$ここで \(x \to 0\) とすると \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin πx}{πx}=1\) となりますので、
\(a=π\) が分かります。よって$$\sin πx=πx\left(1-\frac{x^2}{1^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{2^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{3^2}\right)×\cdots$$$$\sin πx=πx \displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{x^2}{n^2}\right) $$







\((2)\)  \( \cosπx\) は \(\displaystyle x=\pm \frac{1}{2},\pm \frac{3}{2},\pm \frac{5}{2}\cdots\) を解に持つので
\begin{alignat}{2}
&\cos πx=a\left(1-\frac{x}{\frac{1}{2}}\right)\left(1+\frac{x}{\frac{1}{2}}\right)\left(1-\frac{x}{\frac{3}{2}}\right)\left(1+\frac{x}{\frac{3}{2}}\right)\left(1-\frac{x}{\frac{5}{2}}\right)×\cdots\\
&=a\left\{1-\frac{x^2}{\left(\frac{1}{2}\right)^2}\right\}\left\{1-\frac{x^2}{\left(\frac{3}{2}\right)^2}\right\}\left\{1-\frac{x^2}{\left(\frac{5}{2}\right)^2}\right\}×\cdots     
\end{alignat} ここで \(x \to 0\) とすると \(a=1\) が分かります。よって $$\cos πx=\left\{1-\frac{x^2}{\left(\frac{1}{2}\right)^2}\right\}\left\{1-\frac{x^2}{\left(\frac{3}{2}\right)^2}\right\}\left\{1-\frac{x^2}{\left(\frac{5}{2}\right)^2}\right\}×\cdots$$$$ \cos πx=\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty} \left\{1-\frac{x^2}{\left(n-\frac{1}{2}\right)^2}\right\} $$







\((3)\)  \( \sinh πx=-i \sin (πix)\) ですので、直ちに示されます。
$$\sinh πx=-i \cdot πix \displaystyle\prod_{n=1}^{\infty} \left\{1-\frac{(ix)^2}{n^2}\right\}=πx \displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{x^2}{n^2}\right) $$






\((4)\)  \( \cosh πx=\cos (πix)\) ですので、直ちに示されます。
$$\cosh πx=\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty} \left\{1-\frac{(ix)^2}{\left(n-\frac{1}{2}\right)^2}\right\}=\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty} \left\{1+\frac{x^2}{\left(n-\frac{1}{2}\right)^2}\right\} $$






\((A)\) \((3)\) の式において両辺に \( \log \) を付けて微分することで得られます。
\begin{alignat}{2}
&\sinh πx=πx \displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{x^2}{n^2}\right)\\
&\log (\sinh πx)-\log (πx)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \log \left(1+\frac{x^2}{n^2}\right)\\
&π \cdot \frac{\cosh πx}{\sinh πx}-\frac{π}{πx}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\frac{2x}{n^2}}{1+\frac{x^2}{n^2}}\\
&π\coth πx-\frac{1}{x}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2x}{n^2+x^2}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{x^2+n^2}=\frac{πx \coth πx-1}{2x^2}$$






\((B)\) \((4)\) の式において両辺に \( \log \) を付けて微分することで得られます。
\begin{alignat}{2}
&\cosh πx=\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty} \left\{1+\frac{x^2}{\left(n-\frac{1}{2}\right)^2}\right\}\\
&\log (\cosh πx)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \log \left\{1+\frac{x^2}{\left(n-\frac{1}{2}\right)^2}\right\}\\
&π \cdot \frac{\sinh πx}{\cosh πx}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\frac{2x}{\left(n-\frac{1}{2}\right)^2}}{1+\frac{x^2}{\left(n-\frac{1}{2}\right)^2}}\\
&π \tanh πx=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2x}{\left(n-\frac{1}{2}\right)^2+x^2}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2x}{x^2+\left(n-\frac{1}{2}\right)^2}=π \tanh πx$$

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