三角関数の次数下げ

以下は三角関数の次数下げの式です。
\begin{alignat}{2}
&(1)  \sin^4 θ=\frac{3-4 \cos 2θ+\cos 4θ}{8}\\
&(2)  \cos^4 θ=\frac{3+4 \cos 2θ+\cos 4θ}{8}\\
&(3)  \sin^4 θ \cos^4 θ=\frac{3-4 \cos 4θ+\cos 8θ}{128}\\
&(4)  \sin^5 θ=\frac{10 \sin θ-5 \sin 3θ +\sin 5θ}{16}\\
&(5)  \cos^5 θ=\frac{10 \cos θ+5 \cos 3θ +\cos 5θ}{16}\\
&(6)  \sin^5 θ \cos^5 θ =\frac{10 \sin 2θ-5 \sin 6θ +\sin 10θ}{512}\\
&(7)  \sin^6 θ=\frac{10-15 \cos 2θ +6 \cos 4θ- \cos 6θ}{32}\\
&(8)  \cos^6 θ=\frac{10+15 \cos 2θ +6 \cos 4θ+ \cos 6θ}{32}\\
&(9)  \sin^6 θ \cos^6 θ=\frac{10-15 \cos 4θ +6\cos 8θ-\cos 12θ}{2048}\\
&(10)  \sin^7 θ=\frac{35 \sin θ-21 \sin 3θ+7 \sin 5θ-\sin 7θ}{64}\\
&(11)  \cos^7 θ=\frac{35 \cos θ+21 \cos 3θ+7 \cos 5θ+\cos 7θ}{64}\\
&(12)  \sin^7 θ \cos^7 θ=\frac{35 \sin 2θ-21 \sin 6θ+7 \sin 10θ-\sin 14θ}{8192}\\
&(13)  \sin^8 θ=\frac{35-56 \cos 2θ+28 \cos 4θ -8 \cos 6θ+ \cos 8θ}{128}\\
&(14)  \cos^8 θ=\frac{35+56 \cos 2θ+28 \cos 4θ +8 \cos 6θ+ \cos 8θ}{128}\\
&(15)  \sin^8 θ \cos^8 θ=\frac{35-56 \cos 4θ+28 \cos 8θ -8 \cos 12θ+ \cos 16θ}{32768}
\end{alignat}











<証明>

全て、半角の公式、前問の結果などを用いて次数を下げて、式を整理します。

\begin{alignat}{2}
(1)  \sin^4 θ&=\left(\frac{1-\cos 2θ}{2}\right)^2=\frac{1-2 \cos 2θ+ \cos^2 2θ}{4}\\
&=\frac{2-4 \cos 2θ+2 \cos^2 2θ}{8}=\frac{2-4 \cos 2θ+1+\cos 4θ}{8}\\
&=\frac{3-4 \cos 2θ+\cos 4θ}{8}\\
&\\
&\\
(2)  \cos^4 θ&=\left(\frac{1+\cos 2θ}{2}\right)^2=\frac{1+2 \cos 2θ+ \cos^2 2θ}{4}\\
&=\frac{2+4 \cos 2θ+2\cos^2 2θ}{8}=\frac{2+4 \cos 2θ+1+\cos 4θ}{8}\\
&=\frac{3+4 \cos 2θ+\cos 4θ}{8}\\&\\
&\\
(3)  \sin^4 θ \cos^4 θ&=(\sin θ \cosθ)^4=\left(\frac{1}{2}\sin 2θ\right)^4\\
&=\frac{1}{16}\sin^4 2θ=\frac{3-4 \cos 4θ+\cos 8θ}{128}\\
&\\
&\\
(4)  \sin^5 θ&=\sin^2 θ \cdot \sin^3 θ=\frac{1- \cos 2θ}{2}\cdot \frac{3\sin θ- \sin 3θ}{4}\\
&=\frac{3\sin θ- \sin 3θ-3 \cos 2θ \sin θ+\sin 3θ \cos 2θ}{8}\\
&=\frac{6 \sin θ- 2 \sin 3θ-6 \cos 2θ \sin θ+2 \sin 3θ \cos 2θ}{16}\\
&=\frac{6 \sin θ- 2 \sin 3θ-3( \sin 3θ – \sin θ)+ \sin 5θ + \sin θ}{16}\\
&=\frac{10 \sin θ-5 \sin 3θ +\sin 5θ}{16}\\
&\\
&\\
(5)  \cos^5 θ&=\cos^2 θ \cdot \cos^3 θ=\frac{1+ \cos 2θ}{2}\cdot \frac{3\cos θ+ \cos 3θ}{4}\\
&=\frac{3\cos θ+ \cos 3θ+3 \cos 2θ \cos θ+\cos 3θ \cos 2θ}{8}\\
&=\frac{6 \cos θ+ 2 \cos 3θ-6 \cos 2θ \cos θ+2 \cos 3θ \cos 2θ}{16}\\
&=\frac{6 \cos θ+ 2 \cos 3θ+3( \cos 3θ + \cos θ)+ \cos 5θ + \cos θ}{16}\\
&=\frac{10 \cos θ+5 \cos 3θ +\cos 5θ}{16}\\
&\\
&\\
(6)  \sin^5 θ \cos^5 θ&=(\sin θ \cos θ)^5=\left(\frac{1}{2}\sin 2θ\right)^5\\
&=\frac{1}{32}\sin^5 2θ=\frac{10 \sin 2θ-5 \sin 6θ +\sin 10θ}{512}\\
&\\
&\\
(7)  \sin^6 θ&=(\sin^3 θ)^2=\left(\frac{3 \sin θ-\sin 3θ}{4}\right)^2\\
&=\frac{9 \sin^2 θ -6\sin 3θ \sin θ+\sin^2 3θ}{16}\\
&=\frac{18 \sin^2 θ -12\sin 3θ \sin θ+2\sin^2 3θ}{32}\\
&=\frac{9(1-\cos 2θ)+6 (\cos 4θ-\cos 2θ)+1- \cos 6θ}{32}\\
&=\frac{9-9 \cos 2θ+6 \cos 4θ-6\cos 2θ+1- \cos 6θ}{32}\\
&=\frac{10-15 \cos 2θ +6 \cos 4θ- \cos 6θ}{32}\\
&\\
&\\
(8)  \cos^6 θ&=(\cos^3 θ)^2=\left(\frac{ \cos 3θ+3\cos θ}{4}\right)^2\\
&=\frac{\cos^2 3θ+6\cos 3θ \cos θ+9 \cos^2 θ}{16}\\
&=\frac{2\cos^2 3θ+12\cos 3θ \cos θ+18 \cos^2 θ}{32}\\
&=\frac{1+ \cos 6θ+6 (\cos 4θ+\cos 2θ)+9(1+\cos 2θ)}{32}\\
&=\frac{1+ \cos 6θ+6 \cos 4θ+6 \cos 2θ+9+9\cos 2θ}{32}\\
&=\frac{10+15 \cos 2θ +6 \cos 4θ+ \cos 6θ}{32}\\
&\\
&\\
(9)  \sin^6 θ \cos^6 θ&=(\sin θ \cos θ)^6=\left(\frac{1}{2}\sin 2θ\right)^6\\
&=\frac{1}{64}\sin^6 2θ=\frac{10-15 \cos 4θ +6\cos 8θ-\cos 12θ}{2048}\\
&\\
&\\
(10)  \sin^7 θ&=\sin^3θ \sin^4 θ=\frac{3\sin θ-\sin 3θ}{4}\cdot \frac{3-4 \cos 2 θ +\cos 4θ}{8}\\
&=\frac{9 \sin θ-12 \cos 2θ \sin θ+3 \cos 4θ \sin θ-3 \sin 3θ+4 \sin 3θ \cos 2θ-\cos 4θ \sin 3θ}{32}\\
&=\frac{18 \sin θ-24 \cos 2θ \sin θ+6 \cos 4θ \sin θ-6\sin 3θ+8 \sin 3θ \cos 2θ-2\cos 4θ \sin 3θ}{64}\\
&=\frac{18 \sin θ-12(\sin 3θ-\sin θ)+3( \sin 5θ- \sin 3θ)-6\sin 3θ+4( \sin 5θ+ \sin θ)-(\sin 7θ- \sin θ)}{64}\\
&=\frac{18 \sin θ-12\sin 3θ+12\sin θ+3\sin 5θ-3 \sin 3θ-6\sin 3θ+4 \sin 5θ+4 \sin θ-\sin 7θ+ \sin θ}{64}\\
&=\frac{35 \sin θ-21 \sin 3θ+7 \sin 5θ-\sin 7θ}{64}\\
&\\
&\\
(11)  \cos^7 θ&=\cos^3θ \cos^4 θ=\frac{\cos 3θ+3 \cos θ}{4}\cdot \frac{3+4 \cos 2θ+\cos 4θ}{8}\\
&=\frac{3 \cos 3θ+4 \cos 3θ\cos 2θ+\cos 4θ \cos 3θ+9 \cos θ+12 \cos 2θ \cos θ+3 \cos 4θ \cos θ}{32}\\
&=\frac{6 \cos 3θ+8 \cos 3θ\cos 2θ+2\cos 4θ \cos 3θ+18 \cos θ+24 \cos 2θ \cos θ+6 \cos 4θ \cos θ}{64}\\
&=\frac{6 \cos 3θ+4 (\cos 5θ+\cos θ)+\cos 7θ+ \cos θ+18 \cos θ+12( \cos 3θ+ \cos θ)+3 (\cos 5θ+ \cos 3θ)}{64}\\
&=\frac{6 \cos 3θ+4 \cos 5θ+4\cos θ+\cos 7θ+ \cos θ+18 \cos θ+12 \cos 3θ+12 \cos θ+3 \cos 5θ+3 \cos 3θ}{64}\\
&=\frac{35 \cos θ+21 \cos 3θ+7 \cos 5θ+\cos 7θ}{64}\\
&\\
&\\
(12)  \sin^7 θ \cos^7 θ&=(\sin θ \cos θ)^7=\left(\frac{1}{2}\sin 2θ\right)^7\\
&=\frac{1}{128}\sin^7 2θ=\frac{35 \sin 2θ-21 \sin 6θ+7 \sin 10θ-\sin 14θ}{8192}\\
&\\
&\\
(13)  \sin^8 θ&=(\sin^4 θ)^2=\left(\frac{3-4 \cos 2θ+\cos 4θ}{8}\right)^2\\
&=\frac{9+16 \cos^2 2θ+\cos^2 4θ-24 \cos 2θ+6 \cos 4θ-8 \cos 4θ \cos 2θ}{64}\\
&=\frac{18+32 \cos^2 2θ+2\cos^2 4θ-48 \cos 2θ+12 \cos 4θ-16 \cos 4θ \cos 2θ}{128}\\
&=\frac{18+16(1+ \cos 4θ)+1+\cos 8θ-48 \cos 2θ+12 \cos 4θ-8( \cos 6θ+ \cos 2θ)}{128}\\
&=\frac{18+16+16 \cos 4θ+1+\cos 8θ-48 \cos 2θ+12 \cos 4θ-8 \cos 6θ+8 \cos 2θ}{128}\\
&=\frac{35-56 \cos 2θ+28 \cos 4θ -8 \cos 6θ+ \cos 8θ}{128}\\
&\\
&\\
(14)  \cos^8 θ&=(\cos^4 θ)^2=\left(\frac{3+4 \cos 2θ+\cos 4θ}{8}\right)^2\\
&=\frac{9+16 \cos^2 2θ+\cos^2 4θ+24 \cos 2θ+6 \cos 4θ+8 \cos 4θ \cos 2θ}{64}\\
&=\frac{18+32 \cos^2 2θ+2\cos^2 4θ+48 \cos 2θ+12 \cos 4θ+16 \cos 4θ \cos 2θ}{128}\\
&=\frac{18+16(1+ \cos 4θ)+1+\cos 8θ+48 \cos 2θ+12 \cos 4θ+8( \cos 6θ+ \cos 2θ)}{128}\\
&=\frac{18+16+16 \cos 4θ+1+\cos 8θ+48 \cos 2θ+12 \cos 4θ+8 \cos 6θ+8 \cos 2θ}{128}\\
&=\frac{35+56 \cos 2θ+28 \cos 4θ +8 \cos 6θ+ \cos 8θ}{128}\\
&\\
&\\
(15)  \sin^8 θ \cos^8 θ&=(\sin θ \cos θ)^8=\left(\frac{1}{2}\sin 2θ\right)^8\\
&=\frac{1}{256}\sin^7 2θ=\frac{35-56 \cos 4θ+28 \cos 8θ -8 \cos 12θ+ \cos 16θ}{32768}
\end{alignat}

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