A+B+C=πで成立する等式(2)

\( A+B+C=π\) のとき \begin{alignat}{2}
&(6) \cos 2A+ \cos 2B+ \cos 2C=-4 \cos A \cos B \cos C-1\\ 
&(7) \tan A+ \tan B+ \tan C= \tan A \tan B \tan C \\
&(8) \tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2}+ \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2}+ \tan \frac{C}{2} \tan \frac{A}{2}=1 \\
&(9) \cot \frac{A}{2}+\cot \frac{B}{2}+ \cot \frac{C}{2}= \cot \frac{A}{2} \cot \frac{B}{2} \cot \frac{C}{2} \\
&(10) \cot A \cot B+ \cot B \cot C+ \cot C \cot A=1
\end{alignat}                  を証明します。




\((6)\) 和積の公式や2倍角の公式を用いて式を変形すると
\begin{alignat}{1}
&    \cos 2A+ \cos 2B+ \cos 2C \\ 
&=\cos 2A+ \cos 2B+2 \cos^2 C-1 \\
&=2 \cos (A+B) \cos (A-B)+2[ \cos \{π-(A+B)\}]^2-1 \\
&=2 \cos (A+B) \cos (A-B)+2\{- \cos (A+B)\}^2-1 \\
&=2 \cos (A+B) \cos (A-B)+2 \cos^2 (A+B)-1 \\
&=2 \cos (A+B)\{ \cos (A+B)+ \cos (A-B)\}-1\\
&=2 \cos (π-C)2 \cos A \cos B-1 \\
&=-4 \cos A \cos B \cos C-1
\end{alignat}

 


\((7)\) 加法定理より $$ \tan (B+C)=\frac{ \tan B+ \tan C}{1- \tan B \tan C} $$
両辺に \(1- \tan B \tan C\) を掛ければ $$ \tan B+ \tan C= \tan (B+C)(1- \tan B \tan C) $$ これを代入して式を進めていくと
\begin{alignat}{1}
&  \tan A+ \tan B+ \tan C \\
&= \tan A+ \tan (B+C)(1- \tan B \tan C) \\
&= \tan A+ \tan (π-A)(1- \tan B \tan C) \\
&=\tan A- \tan A(1- \tan B \tan C) \\
&= \tan A \tan B \tan C
\end{alignat}



$$ (8) \tan \left(\frac{π}{2}-\frac{A}{2}\right)= \tan \left(\frac{B}{2}+\frac{C}{2}\right) $$ であるから、両辺をそれぞれ変形して $$ \frac{1}{ \tan \frac{A}{2}}=\frac{ \tan \frac{B}{2}+ \tan \frac{C}{2}}{1- \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2}} $$ 両辺に \(\displaystyle  \tan \frac{A}{2}\left(1- \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2}\right) \)を掛けると $$1- \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2}= \tan \frac{A}{2}\left( \tan \frac{B}{2}+ \tan \frac{C}{2}\right) $$ 展開及び整理すると$$ \tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2}+ \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2}+ \tan \frac{C}{2} \tan \frac{A}{2}=1 $$



\begin{alignat}{2}
(9) \cot \frac{A}{2}+\cot \frac{B}{2}+ \cot \frac{C}{2}
&=\frac{1}{ \tan \frac{A}{2}}+\frac{1}{ \tan \frac{B}{2}}+\frac{1}{ \tan \frac{C}{2}} \\
&=\frac{ \tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2}+ \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2}+ \tan \frac{C}{2} \tan \frac{A}{2}}{ \tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2}}
\end{alignat} ここで\( A+B+C=π\) のとき $$ \tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2}+ \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2}+ \tan \frac{C}{2} \tan \frac{A}{2}=1 $$ であるから \begin{alignat}{2}
\cot \frac{A}{2}+ \cot \frac{B}{2}+ \cot \frac{C}{2}
&=\frac{1}{ \tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2}} \\
&= \cot \frac{A}{2} \cot \frac{B}{2} \cot \frac{C}{2}
\end{alignat}


\begin{alignat}{2}
&(10)  \cot A \cot B+ \cot B \cot C+ \cot C \cot A \\
&=\frac{1}{ \tan A \tan B}+\frac{1}{ \tan B \tan C}+\frac{1}{ \tan C \tan A} \\
&=\frac{ \tan A+ \tan B+ \tan C}{ \tan A \tan B \tan C}
\end{alignat} ここで\( A+B+C=π\) のとき $$ \tan A+ \tan B+ \tan C= \tan A \tan B \tan C $$ であるから
$$ \cot A \cot B+ \cot B \cot C+ \cot C \cot A=1 $$

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