3項の加法定理

\begin{alignat}{2}
&(1) \sin(A+B+C)= \cos A \cos B \cos C \\
&×( \tan A+ \tan B+ \tan C- \tan A \tan B \tan C)
\end{alignat} 
\begin{alignat}{2}
&(2) \cos (A+B+C)= \cos A \cos B \cos C \\
&×(1- \tan A \tan B- \tan B \tan C- \tan C \tan A)
\end{alignat} 
\begin{alignat}{2}
&(3) \tan (A+B+C)\\
&=\frac{ \tan A+ \tan B+ \tan C – \tan A \tan B \tan C}{1- \tan A \tan B-\tan B \tan C- \tan C \tan A} 
\end{alignat}                    



<証明>
\begin{alignat}{3}
&(1) \sin (A+B+C)= \sin \{(A+B)+C\} \\
&=\sin (A+B) \cos C+ \cos (A+B) \sin C \\
&=( \sin A \cos B+ \cos A \sin B) \cos C \\
&  +( \cos A \cos B- \sin A \sin B) \sin C \\
&= \sin A \cos B \cos C+ \cos A \sin B \cos C \\
&  + \cos A \cos B \sin C- \sin A \sin B \sin C
\end{alignat} \( \cos A \cos B \cos C\)で括り出すと
\begin{alignat}{3}
&= \cos A \cos B \cos C \\
&×(\frac{ \sin A}{ \cos A}+\frac{ \sin B}{ \cos B}+{\frac{ \sin C}{ \cos C}-\frac{ \sin A \sin B \sin C}{ \cos A \cos B \cos C}}) \\
&= \cos A \cos B \cos C \\
&×( \tan A+ \tan B+ \tan C- \tan A \tan B \tan C)
\end{alignat}



\begin{alignat}{3}
&(2) \cos (A+B+C)= \cos \{(A+B)+C\} \\
&= \cos (A+B) \cos C- \sin (A+B) \sin C \\
&=( \cos A \cos B- \sin A \sin B) \cos C \\
&  -( \sin A \cos B+ \cos A \sin B) \sin C \\
&= \cos A \cos B \cos C- \sin A \sin B \cos C \\
&  - \sin A \cos B \sin C- \cos A \sin B \sin C
\end{alignat} \( \cos A \cos B \cos C\)で括り出すと
\begin{alignat}{3}
&= \cos A \cos B \cos C \\
&×(1-\frac{ \sin A \sin B}{ \cos A \cos B}-\frac{ \sin B \sin C}{ \cos B \cos C}-{\frac{ \sin C \sin A}{ \cos C \cos A}}) \\
&= \cos A \cos B \cos C \\
&×(1- \tan A \tan B- \tan B \tan C- \tan C \tan A)
\end{alignat}



\begin{alignat}{4}
&(3) \tan (A+B+C)= \tan \{(A+B)+C\} \\
&=\frac{ \tan (A+B)+ \tan C}{1- \tan (A+B) \tan C} \\
&=\frac{\frac{ \tan A+ \tan B}{1- \tan A \tan B}+ \tan C}{1-\frac{ \tan A+ \tan B}{1- \tan A \tan B}× \tan C} 
\end{alignat} 分子と分母に \(1- \tan A \tan B\) を掛けて
\begin{alignat}{2}
&=\frac{ \tan A+ \tan B+ \tan C(1- \tan A \tan B)}{1- \tan A \tan B-( \tan A+ \tan B) \tan C} \\
&=\frac{\tan A+ \tan B+ \tan C- \tan A \tan B\ tan C}{1- \tan A \tan B- \tan B\ tan C- \tan C \tan A}
\end{alignat}

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