A+B+C=πで成立する等式(1)

\(A+B+C=π\) で成立する等式\begin{alignat}{2}
&(1) \sin A+ \sin B+ \sin C=4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos\frac{C}{2} \\
&(2) \sin A+ \sin B- \sin C=4 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2} \\
&(3) \cos A+ \cos B+ \cos C=4 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin\frac{C}{2}+1 \\
&(4) \cos A+ \cos B- \cos C=4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}-1 \\
&(5) \sin 2A+ \sin 2B+\sin 2C=4 \sin A \sin B \sin C 
\end{alignat}                  






<証明>
\begin{alignat}{1}
(1) \sin A+ \sin B+ \sin C&= \sin A+ \sin B+ \sin \{π-(A+B)\} \\
&=\sin A+ \sin B+ \sin (A+B)  
\end{alignat} ここで和積の公式や2倍角の公式を用いて式を変形すれば
\begin{alignat}{1}
&=2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}+2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A+B}{2} \\
&=2 \sin \frac{A+B}{2}\left( \cos \frac{A+B}{2}+ \cos \frac{A-B}{2}\right) \\
&=2 \sin \left(\frac{π}{2}-\frac{C}{2}\right)2 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \\
&=4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2} 
\end{alignat}


\begin{alignat}{1}
(2) \sin A+ \sin B- \sin C&= \sin A+ \sin B- \sin\{π-(A+B)\} \\
&= \sin A+ \sin B- \sin (A+B)  
\end{alignat} ここで和積の公式や2倍角の公式を用いて式を変形すれば
\begin{alignat}{1}
&=2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}-2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A+B}{2} \\
&=-2 \sin \frac{A+B}{2}\left( \cos \frac{A+B}{2}- \cos \frac{A-B}{2}\right) \\
&=-2 \sin \left(\frac{π}{2}-\frac{C}{2}\right)(-2) \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \\
&=4 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2} 
\end{alignat}


\begin{alignat}{1}
(3) \cos A+ \cos B+ \cos C&= \cos A+ \cos B+ \cos \{π-(A+B)\} \\
&= \cos A+ \cos B- \cos (A+B)  
\end{alignat} ここで和積の公式や2倍角の公式を用いて式を変形すれば
\begin{alignat}{1}
&=2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}-\left(2 \cos^2 \frac{A+B}{2}-1\right) \\
&=-2 \cos \frac{A+B}{2}\left( \cos \frac{A+B}{2}- \cos \frac{A-B}{2}\right)+1 \\
&=-2 \cos \left(\frac{π}{2}-\frac{C}{2}\right)(-2) \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2}+1 \\
&=4 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}+1
\end{alignat}


\begin{alignat}{1}
(4) \cos A+ \cos B- \cos C&= \cos A+ \cos B- \cos \{π-(A+B)\} \\
&= \cos A+ \cos B+ \cos (A+B)  
\end{alignat} ここで和積の公式や2倍角の公式を用いて式を変形すれば
\begin{alignat}{1}
&=2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}+2 \cos^2 \frac{A+B}{2}-1 \\
&=2 \cos \frac{A+B}{2}\left( \cos \frac{A+B}{2}+ \cos \frac{A-B}{2}\right)-1 \\
&=2 \cos \left(\frac{π}{2}-\frac{C}{2}\right) 2 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2}-1 \\
&=4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}-1
\end{alignat}


\((5)\) 和積の公式や2倍角の公式を用いて式を変形すると
\begin{alignat}{1}
&    \sin 2A+ \sin 2B+ \sin 2C \\ 
&= \sin 2A+ \sin 2B+2 \sin C \cos C \\
&= \sin 2A+ \sin 2B+2 \sin \{π-(A+B)\} \cos \{π-(A+B)\} \\
&=2 \sin (A+B) \cos (A-B)-2 \sin (A+B) \cos (A+B) \\
&=-2 \sin (A+B)\{ \cos (A+B)- \cos (A-B)\} \\
&=-2 \sin (π-c)(-2) \sin A \sin B \\
&=4 \sin A \sin B \sin C \\
\end{alignat}

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