3次方程式の解の公式

次の3次方程式$$ax^3+bx^2+cx+d=0 (a,b,c,d \in \mathbb{R})$$の解の公式は
\begin{alignat}{2}
&x=-\frac{b}{3a}+\left\{\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{54a^3}- \sqrt{\left(\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{54a^3}\right)^2+\left(\frac{3ac-b^2}{9a^2}\right)^3}\right\}^{\frac{1}{3}}w^r\\
&   +\left\{\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{54a^3}+\sqrt{\left(\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{54a^3}\right)^2+\left(\frac{3ac-b^2}{9a^2}\right)^3}\right\}^{\frac{1}{3}}\overline{w^r}  (r=0,1,2)
\end{alignat}






<証明>

次の3次方程式を解きます。$$ax^3+bx^2+cx+d=0 (a,b,c,d \in \mathbb{R})$$2次の項を消去するために \(\displaystyle x=t-\frac{b}{3a}\) と置きます。
\begin{alignat}{2}
&a\left(t-\frac{b}{3a}\right)^3+b\left(t-\frac{b}{3a}\right)^2+c\left(t-\frac{b}{3a}\right)+d=0\\
&a\left(t^3-\frac{b}{a}t^2+\frac{b^2}{3a^2}t-\frac{b^3}{27a^3}\right)+b\left(t^2-\frac{2b}{3a}t+\frac{b^2}{9a^2}\right)+c\left(t-\frac{b}{3a}\right)+d=0\\
&at^3+\frac{b^2}{3a}t-\frac{b^3}{27a^2}-\frac{2b^2}{3a}t+\frac{b^3}{9a^2}+ct-\frac{bc}{3a}+d=0\\
&at^3+\left(c-\frac{b^2}{3a}\right)t+\left(\frac{2b^3}{27a^2}-\frac{bc}{3a}+d\right)=0\\
&t^3+\left(\frac{c}{a}-\frac{b^2}{3a^2}\right)t+\left(\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{bc}{3a^2}+\frac{d}{a}\right)=0\\
\end{alignat}\(t\) の係数と定数項をそれぞれ \(p,q\) と置きます。$$p=\frac{c}{a}-\frac{b^2}{3a^2},  q=\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{bc}{3a^2}+\frac{d}{a}$$であり、解くべき方程式は$$t^3+pt+q=0$$となります。この解を \(t=u+v (≠0)\) と置くと
\begin{alignat}{2}
&(u+v)^3+p(u+v)+q=0\\
&u^3+v^3+3uv(u+v)+p(u+v)+q=0\\
&u^3+v^3+q+(p+3uv)(u+v)=0
\end{alignat}となり、この式を成り立たせる条件は
\(u^3+v^3=-q\) かつ \(p+3uv=0\) です。

ここで \(p+3uv=0\) について変形すると$$3uv=-p, uv=-\frac{1}{3}p, u^3v^3=-\frac{1}{27}p^3$$となるので、次のように \(u^3,v^3\) の和と積が得られます。$$u^3+v^3=-q,  u^3v^3=-\frac{1}{27}p^3$$ここから \(u^3,v^3\) を解とする2次方程式を立式すれば$$z^2+qz-\frac{1}{27}p^3=0$$これを解くと$$z=\frac{-q \pm \sqrt{q^2+\frac{4}{27}p^3}}{2}=-\frac{q}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}$$となるから$$u^3=-\frac{q}{2}- \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3},  v^3=-\frac{q}{2}+ \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}$$
次の \(u,v\) を求めるために、これらの \(3\) 乗根を考えます。

\(x^3=1\) の解について$$w^0=1, w^1=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}, w^2=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$$(\(w^1\) と \(w^2\) は共役) とすると
\(x^3=1\) の解は \(x=w^r\) (\(r=0,1,2\)) と書けるので
\(u^3,v^3\) の\(3\) 乗根は$$u=w^r\left\{-\frac{q}{2}- \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}\right\}^{\frac{1}{3}},  v=w^r\left\{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}\right\}^{\frac{1}{3}} (r=0,1,2)$$また \(\displaystyle uv=-\frac{p}{3}\)、すなわち \(u\) と \(v\) の積は実数だから、
\(u,v\) の組は次の3つに限られます。
\begin{alignat}{2}
&u=w^0\left\{-\frac{q}{2}- \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}\right\}^{\frac{1}{3}},  v=w^0\left\{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}\right\}^{\frac{1}{3}}\\
&u=w^1\left\{-\frac{q}{2}- \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}\right\}^{\frac{1}{3}},  v=\overline{w^1}\left\{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}\right\}^{\frac{1}{3}}\\
&u=w^2\left\{-\frac{q}{2}- \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}\right\}^{\frac{1}{3}},  v=\overline{w^2}\left\{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}\right\}^{\frac{1}{3}}
\end{alignat}
よって \(t^3+pt+q=0\) の解は次のように書けます。$$t=u+v=\left\{-\frac{q}{2}- \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}\right\}^{\frac{1}{3}}w^r+\left\{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}\right\}^{\frac{1}{3}}\overline{w^r}  (r=0,1,2)$$\(\displaystyle x=t-\frac{b}{3a}\) と置いていたので、元の3次方程式の解は$$x=-\frac{b}{3a}+\left\{-\frac{q}{2}- \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}\right\}^{\frac{1}{3}}w^r+\left\{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}\right\}^{\frac{1}{3}}\overline{w^r}  (r=0,1,2)$$
最後に \(p,q\) を \(a,b,c,d\) で書き直します。
\begin{alignat}{2}
&-\frac{q}{2}=-\frac{1}{2}\left(\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{bc}{3a^2}+\frac{d}{a}\right)=-\frac{1}{2}\cdot \frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}=\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{54a^3}\\
&\\
&   \frac{p}{3}=\frac{1}{3}\left(\frac{c}{a}-\frac{b^2}{3a^2}\right)=\frac{1}{3}\cdot \frac{3ac-b^2}{3a^2}=\frac{3ac-b^2}{9a^2}
\end{alignat}となるので、これらを代入します。
\begin{alignat}{2}
&x=-\frac{b}{3a}+\left\{\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{54a^3}- \sqrt{\left(\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{54a^3}\right)^2+\left(\frac{3ac-b^2}{9a^2}\right)^3}\right\}^{\frac{1}{3}}w^r\\
&   +\left\{\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{54a^3}+\sqrt{\left(\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{54a^3}\right)^2+\left(\frac{3ac-b^2}{9a^2}\right)^3}\right\}^{\frac{1}{3}}\overline{w^r}  (r=0,1,2)
\end{alignat}

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