(secx-1)^μ(tanx)[0,π/2]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}(\mathrm{sec}\, x-1)^μ \tan xdx=-π\,\mathrm{csc} \,μπ\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}(\mathrm{csc}\, x-1)^μ \cot xdx=-π\,\mathrm{csc} \,μπ\\
&(3) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}\frac{(\cot x-1)^μ}{\sin 2x}dx=-\frac{π}{2}\mathrm{csc}\, μπ\\
&(4) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}\frac{(\cot x-1)^μ}{\cos^2 x}dx=μπ\,\mathrm{csc} \,μπ
\end{alignat}ただし、全て \(-1 \lt μ \lt 0\)








<証明>

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}(\mathrm{sec}\, x-1)^μ \tan xdx\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\left(\frac{1}{\cos x}-1\right)^μ \frac{\sin x}{\cos x}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} (1- \cos x)^μ(\cos x)^{-μ-1}\sin xdx\\
\end{alignat}\(\cos x=t\) と置きます。\((-\sin xdx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
&=\displaystyle\int_1^0 (1-t)^μt^{-μ-1}(-dt)=\displaystyle\int_0^1 t^{-μ-1}(1-t)^μdt\\
&=B(-μ,μ+1)=Γ(-μ)Γ(μ+1)\\
&=-\frac{Γ(1-μ)}{μ}\cdot μΓ(μ)=-π\,\mathrm{csc}\, μπ\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}(\mathrm{sec}\, x-1)^μ \tan xdx=-π\,\mathrm{csc} \,μπ$$







\begin{alignat}{2}
&(2) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}(\mathrm{csc}\, x-1)^μ \cot xdx\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)^μ \frac{\cos x}{\sin x}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} (1- \sin x)^μ(\sin x)^{-μ-1}\cos xdx\\
\end{alignat}\(\sin x=t\) と置きます。\(( \cos xdx=dt)\)$$=\displaystyle\int_0^1 t^{-μ-1}(1-t)^μdt=-π\,\mathrm{csc}\, μπ$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}(\mathrm{csc}\, x-1)^μ \cot xdx=-π\,\mathrm{csc} \,μπ$$








\((3)\) \(\tan x=t\) と置きます。\(\displaystyle\left(\frac{1}{\cos^2 x}dx=dt\right)\)
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}\frac{(\cot x-1)^μ}{\sin 2x}dx=\displaystyle\int_0^1 \left(\frac{1}{t}-1\right)^μ\frac{1}{2\sin x \cos x} \cdot \cos^2 xdx\\
&                =\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 (1-t)^μt^{-μ}\cdot t^{-1}dt\\
&                =\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 t^{-μ-1}(1-t)^μdt\\
&                =\frac{1}{2}B(-μ,μ+1)=-\frac{π}{2}\,\mathrm{csc}\, μπ\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}\frac{(\cot x-1)^μ}{\sin 2x}dx=-\frac{π}{2}\,\mathrm{csc}\, μπ$$








\((4)\) \(\tan x=t\) と置きます。\(\displaystyle\left(\frac{1}{\cos^2 x}dx=dt\right)\)
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}\frac{(\cot x-1)^μ}{\cos^2 x}dx=\displaystyle\int_0^1 \left(\frac{1}{t}-1\right)^μ=\displaystyle\int_0^1 t^{-μ}(1-t)^μdt\\
&                =B(1-μ,μ+1)=Γ(1-μ)Γ(1+μ)\\
&                =μΓ(μ)Γ(1-μ)=μπ\,\mathrm{csc}\,μπ
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}\frac{(\cot x-1)^μ}{\cos^2 x}dx=μπ\,\mathrm{csc} \,μπ$$

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