正弦関数のみを含む積分計算(2)

\begin{alignat}{2}
&(10) \displaystyle\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} x^2sin^2\frac{nπx}{a}dx=\frac{a^3(n^2π^2-6)}{24n^2π^2} ( n=2,4,6, \cdots)\\
&(11) \displaystyle\int \frac{sinax}{x}dx=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n(ax)^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}\\
&(12) \displaystyle\int \frac{sinax}{x^n}dx=-\frac{sinax}{(n-1)x^{n-1}}+\frac{a}{n-1}\displaystyle\int \frac{cosax}{x^{n-1}}dx\\
&(13) \displaystyle\int \frac{1}{1+sinax}dx=\frac{1}{a}tan\left(\frac{ax}{2}- \frac{π}{4}\right)\\
&(14) \displaystyle\int \frac{1}{1-sinax}dx=\frac{1}{a}tan\left(\frac{ax}{2}+ \frac{π}{4}\right)\\
&(15) \displaystyle\int \frac{x}{1+sinax}dx=\frac{x}{a}tan\left(\frac{ax}{2}-\frac{π}{4}\right)+\frac{2}{a^2}log\left|cos\left(\frac{ax}{2}-\frac{π}{4}\right)\right|\\
&(16) \displaystyle\int \frac{x}{1-sinax}dx=\frac{x}{a}cot\left(\frac{π}{4}-\frac{ax}{2}\right)+\frac{2}{a^2}log\left|sin\left(\frac{π}{4}-\frac{ax}{2}\right)\right|\\
&(17) \displaystyle\int \frac{sinax}{1+sinax}dx=x-\frac{1}{a}tan\left(\frac{ax}{2}-\frac{π}{4}\right)\\
&(18) \displaystyle\int \frac{sinax}{1-sinax}dx=-x+\frac{1}{a}tan\left(\frac{ax}{2}+\frac{π}{4}\right)
\end{alignat}
(積分定数は省略しています。)






(10) 半角の公式で次数を下げて、部分積分です。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} x^2sin^2\frac{nπx}{a}dx= 2\displaystyle\int_0^{\frac{a}{2}} x^2sin^2\frac{nπx}{a}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{a}{2}}x^2\left(1-cos\frac{2nπx}{a}\right)dx= \displaystyle\int_0^{\frac{a}{2}} x^2dx- \displaystyle\int_0^{\frac{a}{2}} x^2cos\frac{2nπx}{a}dx\\
&=\left[\frac{1}{3}x^3\right]_0^{\frac{a}{2}}-\left\{\left[\frac{ax^2}{2nπ}sin\frac{2nπx}{a}\right]_0^{\frac{a}{2}}-\displaystyle\int_0^{\frac{a}{2}} 2x\cdot \frac{a}{2nπ}sin\frac{2nπx}{a}dx\right\}\\
&=\frac{a^3}{24}+\frac{a}{nπ}\displaystyle\int_0^{\frac{a}{2}}xsin\frac{2nπx}{a}dx\\
&=\frac{a^3}{24}+\frac{a}{nπ}\left\{\left[-\frac{ax}{2nπ}cos\frac{2nπx}{a}\right]_0^{\frac{a}{2}}+\displaystyle\int_0^{\frac{a}{2}}\frac{a}{2nπ}cos\frac{2nπx}{a}dx\right\}\\
&=\frac{a^3}{24}+\frac{a}{nπ}\left(-\frac{a^2}{4nπ}cosnπ+\frac{a^2}{4n^2π^2}\left[sin\frac{2nπx}{a}\right]_0^{\frac{a}{2}}\right)\\
&=\frac{a^3}{24}-\frac{a^3}{4n^2π^2}(-1)^n  (n=2,4,6, \cdots)\\
&=\frac{a^3}{24}-\frac{a^3}{4n^2π^2}=\frac{a^3(n^2π^2-6)}{24n^2π^2}
\end{alignat}
  

(11) \(sinax\) を級数で表して \(x\) で割り、積分します。
\begin{alignat}{2}
&sinax=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n(ax)^{2n+1}}{(2n+1)!},  \frac{sinax}{x}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^na^{2n+1}x^{2n}}{(2n+1)!}\\
&\displaystyle\int \frac{sinax}{x}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^na^{2n+1}}{(2n+1)!}\displaystyle\int x^{2n}dx\\
&        =\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n(ax)^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}dx
\end{alignat}


(12) 部分積分です。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int \frac{sinax}{x^n}dx=\displaystyle\int x^{-n}sinaxdx\\
&          =\frac{1}{-n+1}x^{-n+1}sinax-\displaystyle\int \frac{1}{-n+1}x^{-n+1}acosaxdx\\
&          =-\frac{sinax}{(n-1)x^{n-1}}+\frac{a}{n-1}\displaystyle\int \frac{cosax}{x^{n-1}}dx
\end{alignat}


(13) (7)と同様に置き換えます。また、途中の式変形のため、
  (13)と(14)は \(C\) は途中まで省略しないこととします。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int \frac{1}{1+sinax}dx=\displaystyle\int \frac{1}{1+\frac{2t}{1+t^2}}\cdot \frac{2}{a(1+t^2)}dt\\
&             =\frac{2}{a}\displaystyle\int \frac{1}{a+t^2+2t}dt=\frac{2}{a}\displaystyle\int \frac{1}{(t+1)^2}dt\\
&             =-\frac{2}{a}\cdot \frac{1}{t+1}+C=-\frac{2}{a}\cdot \frac{1}{1+tan\frac{ax}{2}}+C
\end{alignat}ここで定数 \(C\) から \(\displaystyle \frac{1}{a}\) を取り出します。\(\bigg(\)すなわち \(\displaystyle C=\frac{1}{a}+C_1\bigg)\)
その後の \(C_1\) は省略します。
\begin{alignat}{2}
&=-\frac{2}{a}\cdot \frac{1}{1+tan\frac{ax}{2}}+\frac{1}{a}+C_1=\frac{1}{a}\left(1-\frac{2}{1+tan\frac{ax}{2}}\right)\\
&=\frac{1}{a}\cdot \frac{1+tan\frac{ax}{2}-2}{1+tan\frac{ax}{2}}=\frac{1}{a}\cdot \frac{tan\frac{ax}{2}-1}{1+tan\frac{ax}{2}}\\
&=\frac{1}{a}\cdot \frac{tan\frac{ax}{2}-tan\frac{π}{4}}{1+tan\frac{ax}{2}tan\frac{π}{4}}= \frac{1}{a}tan\left(\frac{ax}{2}- \frac{π}{4}\right)
\end{alignat}


(14) (13)と同様に解いていきます。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int \frac{1}{1-sinax}dx=\displaystyle\int \frac{1}{1-\frac{2t}{1+t^2}}\cdot \frac{2}{a(1+t^2)}dt\\
&             =\frac{2}{a}\displaystyle\int \frac{1}{a+t^2-2t}dt=\frac{2}{a}\displaystyle\int \frac{1}{(t-1)^2}dt\\
&             =\frac{2}{a}\cdot \frac{1}{1-t}+C=-\frac{2}{a}\cdot \frac{1}{1-tan\frac{ax}{2}}+C
\end{alignat}ここで定数 \(C\) から \(\displaystyle -\frac{1}{a}\) を取り出します。\(\bigg(\)すなわち \(\displaystyle C=-\frac{1}{a}+C_1\bigg)\)
その後の \(C_1\) は省略します。
\begin{alignat}{2}
&=\frac{2}{a}\cdot \frac{1}{1-tan\frac{ax}{2}}-\frac{1}{a}+C_1=\frac{1}{a}\left(\frac{2}{1-tan\frac{ax}{2}}-1\right)\\
&=\frac{1}{a}\cdot \frac{2-\left(1-tan\frac{ax}{2}\right)}{1-tan\frac{ax}{2}}=\frac{1}{a}\cdot \frac{tan\frac{ax}{2}+1}{1-tan\frac{ax}{2}}\\
&=\frac{1}{a}\cdot \frac{tan\frac{ax}{2}+tan\frac{π}{4}}{1-tan\frac{ax}{2}tan\frac{π}{4}}= \frac{1}{a}tan\left(\frac{ax}{2}+\frac{π}{4}\right)
\end{alignat}


(15) (13)を用いて部分積分です。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int \frac{x}{1+sinax}dx=\displaystyle\int x \cdot \frac{1}{1+sinax}dx\\
&             =\frac{x}{a}tan\left(\frac{ax}{2}-\frac{π}{4}\right)-\frac{1}{a}\displaystyle \int tan\left(\frac{ax}{2}-\frac{π}{4}\right)dx \\
&             =\frac{x}{a}tan\left(\frac{ax}{2}-\frac{π}{4}\right)+\frac{2}{a^2}log\left|cos\left(\frac{ax}{2}-\frac{π}{4}\right)\right|
\end{alignat}


(16) (14)を用いて部分積分です
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int \frac{x}{1-sinax}dx=\displaystyle\int x \cdot \frac{1}{1-sinax}dx\\
&             =\frac{x}{a}tan\left(\frac{ax}{2}+\frac{π}{4}\right)-\frac{1}{a}\displaystyle \int tan\left(\frac{ax}{2}+\frac{π}{4}\right)dx \\
&             =\frac{x}{a}tan\left(\frac{ax}{2}+\frac{π}{4}\right)+\frac{2}{a^2}log\left|cos\left(\frac{ax}{2}+\frac{π}{4}\right)\right|
\end{alignat} 余角の三角比を用います。
\begin{alignat}{2}
&=\frac{x}{a}cot\left\{\frac{π}{2}-\left(\frac{ax}{2}+\frac{π}{4}\right)\right\}+\frac{2}{a^2}log\left|sin\left\{\frac{π}{2}-\left(\frac{ax}{2}+\frac{π}{4}\right)\right\}\right| \\
&=\frac{x}{a}cot\left(\frac{π}{4}-\frac{ax}{2}\right)+\frac{2}{a^2}log\left|sin\left(\frac{π}{4}-\frac{ax}{2}\right)\right|
\end{alignat}


(17) \(1\) を加えて引きます。(13)の積分を用います。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int \frac{sinax}{1+sinax}dx= \displaystyle\int \frac{(1+sinax)-1}{1+sinax}dx\\
&             =\displaystyle\int \left(1-\frac{1}{1+sinax}\right)dx\\
&             = x-\frac{1}{a}tan\left(\frac{ax}{2}-\frac{π}{4}\right)
\end{alignat}


(18) \(1\) を加えて引きます。(14)の積分を用います。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int \frac{sinax}{1-sinax}dx=-\displaystyle\int \frac{(1-sinax)-1}{1-sinax}dx\\
&             =-\displaystyle\int \left(1-\frac{1}{1-sinax}\right)dx\\
&             =-x+\frac{1}{a}tan\left(\frac{ax}{2}+\frac{π}{4}\right)
\end{alignat}

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