正五角形

一辺の長さが \(a\) のとき

\((1)\) 面積 \(\displaystyle S=\frac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{4}a \)

\((2)\) 外接円半径 \(\displaystyle R=\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}}a\)

\((3)\) 内接円半径 \(\displaystyle r=\sqrt{\frac{5+2\sqrt{5}}{20}}a\)

\((4)\) 一辺と対角線の比 \(\displaystyle 1:\frac{\sqrt{5}+1}{2}\)

\((5)\) 全ての対角線の引いたときに出来る小さな正五角形と元の正五角形の面積比
             大:小=\(\displaystyle 1:\frac{7-3\sqrt{5}}{2}\)








<証明>

\((1)\) 正五角形の中心Oから、各頂点へ線分を引くと全て合同な三角形に分割されます。

すなわち \( \triangle OAB \equiv \triangle OBC \equiv \triangle OCD \equiv \triangle ODE \equiv \triangle OEA \) であり、

求める面積は\(S=5\triangle OCD \) となります。

あとは中心 \(O\) から辺 \(CD\) へ垂線 \(OH\) を引けばそれが \(\triangle OCD\) の高さとなるので
\begin{alignat}{2}
S&=5\triangle OCD=5 \cdot \frac{1}{2}CD \cdot OH=5
\cdot\frac{1}{2}a \cdot\frac{1}{2}a \cdot \tan 54^\circ \\
&=\frac{5}{4}a^2\sqrt{\frac{5+2\sqrt{5}}{5}}= \frac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{4}a\\
\end{alignat}

\((2)\) 上の図より、外接円半径 \(R=OC\) であるから
\begin{alignat}{2}
R&=OC=\frac{1}{2}a\cdot \frac{1}{\cos 54^\circ}=\frac{1}{2}a\cdot \frac{4}{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{4\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{10-2\sqrt{5}}a\\
&=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{5-\sqrt{5}}a=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}} \cdot (5+\sqrt{5})}{25-5}a\\
&= \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}\sqrt{(5+\sqrt{5})^2}}{20} a=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}} \sqrt{30+10\sqrt{5}}}{20}a\\
&=\frac{\sqrt{5-\sqrt{5}}\sqrt{15+5\sqrt{5}}}{10}a=\frac{\sqrt{(5-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}}{2\sqrt{5}}a\\
&=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{2\sqrt{5}}a=\frac{\sqrt{5+\sqrt{5}}}{\sqrt{10}}a=\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}}a\\
\end{alignat}







\((3)\) 上の図より、内接円半径 \(r=OH\) であるから$$OH=\frac{1}{2}a \cdot \tan 54^\circ=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5+2\sqrt{5}}{5}}=\sqrt{\frac{5+2\sqrt{5}}{20}}a$$


\((4)\) 一辺と対角線の比を求めるために次の下図のような頂角 \(36^\circ \) 底角 \(72^\circ\) の二等辺三角形を考えます。角 \(C\) から角の二等分線を引くと辺 \(AD\) とぶつかるので、そこを点 \(G\) とします。

すると \( \triangle ACD \sim \triangle CDG \) となるので \(AC\) の長さを \(x\) を置くと$$CD:DG=AC:CD,  1:(x-1)=x:1,  x(x-1)=1 , x^2-x+1=0$$これを解くと$$\displaystyle x=\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} (\gt 0),  AC=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$


また \(AC\) の方を \(1\) とするときは
\(\displaystyle AC:CD=\frac{\sqrt{5}+1}{2}:1=\sqrt{5}+1:2\)
\(\displaystyle=4:2(\sqrt{5}-1)=1:\frac{\sqrt{5}-1}{2}\)








\((5)\)  全ての対角線の引いたとき、下図のようになります。

つまり、オレンジが (大) でブルーが (小) です。この (大) : (小) を求めます。
大きい正五角形の一辺を \(1\) としたとき小さい正五角形の一辺を求めるには
\(IJ=AC-2JC\) となりますので$$\displaystyle IJ=\frac{\sqrt{5}+1}{2}-2 \cdot \frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$
よって相似比は

(大):(小)\(=\displaystyle 1:\frac{3-\sqrt{5}}{2} \)

面積比は相似比の2乗になるので$$\displaystyle 1^2:\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^2=4:14-6\sqrt{5}=2:7-3\sqrt{5}=1:\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$$

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