正接関数のみを含む積分計算

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int \tan ax=-\frac{1}{a} \log | \cos ax|=\frac{1}{a} \log | \sec ax|\\
&(2) \displaystyle\int \tan^n axdx=\frac{1}{a(n-1)} \tan^{n-1} ax-\displaystyle\int \tan^{n-2} axdx ( n≠1 )\\
&(3) \displaystyle\int \frac{1}{q \tan ax+p}dx=\frac{1}{p^2+q^2}\left(px+\frac{q}{a} \log |q \sin ax+p \cos ax|\right) ( p^2+q^2≠0 )\\
&(4) \displaystyle\int \frac{1}{ \tan ax+1}dx=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2a} \log | \sin ax+ \cos ax|\\
&(5) \displaystyle\int \frac{1}{ \tan ax-1}dx=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2a} \log | \sin ax- \cos ax|\\
&(6) \displaystyle\int \frac{ \tan ax}{ \tan ax+1}dx=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2a} \log | \sin ax+ \cos ax|\\
&(7) \displaystyle\int \frac{ \tan ax}{ \tan ax-1}dx=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2a} \log | \sin ax- \cos ax|
\end{alignat}(積分定数は省略しています。)









<証明>
全体を通して「分母を微分したものが分子にあれば、積分で直ちに \( \log \) となる」ことを利用しています。(2)については \( \tan^2 ax\) を外に出します。
\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int \tan ax=\displaystyle\int \frac{ \sin ax}{ \cos ax}dx=-\frac{1}{a} \displaystyle\int \frac{-a \sin ax}{ \cos ax}dx=-\frac{1}{a} \log | \cos ax|\\
&          =\frac{1}{a} \log \left|\frac{1}{ \cos ax}\right|=\frac{1}{a} \log | \sec ax| \\
\end{alignat}







\begin{alignat}{2}
&(2) \displaystyle\int \tan^n axdx= \displaystyle\int \tan^2 axtan^{n-2}axdx\\
&             =\displaystyle\int \left(\frac{1}{ \cos^2 ax}-1\right) \tan^{n-2} axdx\\
&             =\displaystyle\int \frac{1}{ \cos^2 ax} \tan^{n-2} xdx-\displaystyle\int \tan^{n-2} dx
\end{alignat}左の積分において \(\displaystyle ( \tan^{n-1} ax)’=a(n-1) \tan^{n-2} ax \cdot \frac{1}{ \cos^2 ax}\) であることを用います。
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{a(n-1)}\displaystyle\int \frac{a(n-1)}{ \cos^2 ax} \tan^{n-2} axdx-\displaystyle\int \tan^{n-2} dx\\
&=\frac{1}{a(n-1)}\displaystyle\int ( \tan^{n-1} ax)’ dx-\displaystyle\int \tan^{n-2} dx\\
&=\frac{1}{a(n-1)} \tan^{n-1} ax-\displaystyle\int \tan^{n-2} axdx
\end{alignat}




\((3)\) \(p^2+q^2\) を分子に置くために \(p^2+q^2\) で割って掛けます。
  さらに分子に \(pq \tan ax\) を加えて引きます。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int \frac{1}{q \tan ax+p}dx=\frac{1}{p^2+q^2}\displaystyle\int \frac{p^2+q^2}{q \tan ax+p}dx\\
&              =\frac{1}{p^2+q^2}\displaystyle\int \frac{p^2+pq \tan ax+q^2- pq \tan ax}{q \tan ax+p}dx\\
&              =\frac{1}{p^2+q^2}\displaystyle\int \frac{p(p+q \tan ax)+q(q-p \tan ax)}{q \tan ax+p}dx\\
&              =\frac{1}{p^2+q^2}\displaystyle\int \left(p+q \cdot \frac{q-p \tan ax}{q \tan ax+p}\right)dx
\end{alignat} 被積分関数の右側について、
分子と分母に \(a \cos ax\) を掛けます。そして全体を積分です。
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{p^2+q^2}\displaystyle\int \left(p+\frac{q}{a} \cdot \frac{aq \cos ax-ap \sin ax}{q \sin ax+p \cos ax}\right)dx\\
&=\frac{1}{p^2+q^2}\left(px+\frac{q}{a} \log |q \sin ax+p \cos ax|\right)
\end{alignat}$$\displaystyle\int \frac{1}{q \tan ax+p}dx=\frac{1}{p^2+q^2}\left(px+\frac{q}{a} \log |q \sin ax+p \cos ax|\right)$$





\((4)\) \((3)\) の式において \(p=1, q=1\) とします。$$ \displaystyle\int \frac{1}{\tan ax+1}dx=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2a} \log | \sin ax+ \cos ax| $$





\((5)\)  \((3)\) の式において \(p=-1, q=1\) とします。$$ \displaystyle\int \frac{1}{ \tan ax-1}dx=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2a} \log | \sin ax- \cos ax|$$





\((6)\)  分子と分母に \(2\) を掛けて、分子に \(1\) を加えて引きます。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int \frac{ \tan ax}{ \tan ax+1}dx=\frac{1}{2} \displaystyle\int \frac{2 \tan ax}{ \tan ax+1}dx\\
&             =\frac{1}{2} \displaystyle\int \frac{ \tan ax+1+ \tan ax-1}{ \tan ax+1}dx\\
&             =\frac{1}{2} \displaystyle\int \left(1+\frac{ \tan ax-1}{ \tan ax+1}\right)dx
\end{alignat}被積分関数の右側について、
分子と分母に \(a \cos ax\) を掛けます。\((-1)\) を外に出してから、全体を積分です。
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{2} \displaystyle\int \left(1-\frac{1}{a} \cdot \frac{a \cos ax-a \sin ax}{ \sin ax+ \cos ax}\right)dx\\
&=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2a} \log | \sin ax+ \cos ax|
\end{alignat}





\((7)\)  分子と分母に \(2\) を掛けて、分子において \(1\) を引いて加えます。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int \frac{ \tan ax}{ \tan ax-1}dx=\frac{1}{2} \displaystyle\int \frac{2 \tan ax}{ \tan ax-1}dx\\
&             =\frac{1}{2} \displaystyle\int \frac{ \tan ax-1+1+ \tan ax}{ \tan ax-1}dx\\
&             =\frac{1}{2} \displaystyle\int \left(1+\frac{1+ \tan ax}{ \tan ax-1}\right)dx
\end{alignat}被積分関数の右側について、
分子と分母に \(a \cos ax\) を掛けます。そして全体を積分です。
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{2} \displaystyle\int \left(1+\frac{1}{a} \cdot \frac{a \cos ax+a \sin ax}{ \sin ax- \cos ax}\right)dx\\
&=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2a} \log | \sin ax- \cos ax|
\end{alignat}




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