積分の平均値の定理

関数\(f(x)\)が区間\([a,b]\)で連続ならば、$$f(c)=\frac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)dx  (a \lt c \lt b)$$ となるような \(c\) が少なくとも一つ存在する。

上の図のように関数 \(y=f(x)\)、\(x\)軸上に\(a,b\)があります。ここで\( \displaystyle\int_a^b f(x)dx\)と等しくなるような、底辺を\((b-a)\)とする長方形を考え、このときの長方形の高さを 関数 \(y=f(x)\) 上に取り\(f(c)\)とし、その \(x\) 座標を \(c\) とします。このとき \(c\) は \( a \lt c \lt b \) の間に取れて、次式が成り立ちます。$$(b-a)f(c)= \displaystyle\int_a^b f(x)dx $$ $$f(c)=\frac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)dx  (a \lt c \lt b)$$

また、区間\([a,b]\)のときの関数 \(y=f(x)\) の最小値を \(m\) 、最大値を \(M\) とすると\(m \leq f(x) \leq M\) だから$$m\displaystyle\int_a^bdx \leq \displaystyle\int_a^b f(x)dx \leq M \displaystyle\int_a^bdx $$$$m(b-a) \leq \displaystyle\int_a^b f(x)dx \leq M(b-a)$$$$m \leq \frac{1}{b-a} \displaystyle\int_a^b f(x)dx \leq M$$ よって、\(m \leq f(c) \leq M \) だから
\(m\) と \(M\) の間に \(f(c)\) が存在します。



次にここから、微分法の平均値の定理を導出します。
(ただし\(F(x)’=f(x)\)とします。)
$$ \displaystyle\int_a^b f(x)dx=(b-a)f(c)     (a \lt c \lt b)$$$$[F(x)]_a^b=(b-a)f(c)$$$$F(b)-F(a)=(b-a)F'(c)$$$$\frac{F(b)-F(a)}{b-a}=F'(c)$$で、 \( a \lt c \lt b \) を満たすような \(c\) が少なくとも一つ存在する。

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