積分の面積公式(5)

上の図のように、2次の係数が同じである二つの2次関数とその共通接線によって囲まれた部分の面積を \(S\) とします。二つの2次関数は それぞれ\(f(x)=ax^2+bx+c (a \gt 0 )\)、\(g(x)=ax^2+px+q\) で二つの接点の \(x\) 座標をそれぞれ \(α,β \) とすると$$S=\frac{|a|}{12}(β-α)^3 $$

まず、それぞれの接点から共通接線を求めて比較をして等式を得ます。
\(f'(x)=2ax+b\) だから、傾きは \(f'(α)=2aα+b\) なので
$$y=(2aα+b)(x-α)+aα^2+bα+c$$$$y=(2aα+b)x-2aα^2-bα+aα^2+bα+c$$$$y=(2aα+b)x-aα^2+c \cdots (A)$$ \(g'(x)=2ax+p\) だから、傾きは \(f'(β)=2aβ+p\) なので$$y=(2aβ+p)(x-β)+aβ^2+pβ+q$$$$y=(2aβ+p)x-2aβ^2-pβ+aβ^2+pβ+q$$$$y=(2aβ+p)x-aβ^2+q \cdots (B)$$ この(A)と(B)の式は同じ直線を表すので
\begin{cases}
2aα+b=2aβ+p \\
-aα^2+c=-aβ^2+q
\end{cases} \begin{cases}
p-b=2a(α-β)  \cdots(C)\\
c-q=a(α-β)(α+β)  \cdots(D)
\end{cases}
ところで、二つの2次関数の交点の \(x\) 座標は$$ax^2+bx+c=ax^2+px+q$$$$bx+c=px+q$$$$(p-b)x=c-q$$ここに先ほど得た(C)と(D)を代入します。$$2a(α-β)x=a(α-β)(α+β)  (α≠β)$$$$x=\frac{α+β}{2}$$以上より、求める面積は
\begin{alignat}{2}
&S=\displaystyle\int_α^{\frac{α+β}{2}} [ax^2+bx+c-\{(2aα+b)x-aα^2+c\}]dx\\
&  +\displaystyle\int_{\frac{α+β}{2}}^β [ax^2+px+q-\{(2aβ+p)x-aβ^2+q\}]dx\\
&=a\displaystyle\int_α^{\frac{α+β}{2}}(x^2-2aα+α^2)dx+a\displaystyle\int_{\frac{α+β}{2}}^β (x^2-2βx+β^2)dx\\
&=a\displaystyle\int_α^{\frac{α+β}{2}}(x-α)^2dx+a\displaystyle\int_{\frac{α+β}{2}}^β (x-β)^2dx
\end{alignat} あとは「積分の面積公式(4)」と同じ計算になるので$$S=\frac{a}{12}(β-α)^3$$同様に \(a \lt 0\) のときを計算すると$$S=-\frac{a}{12}(β-α)^3$$ 
これらをまとめて$$S=\frac{|a|}{12}(β-α)^3$$

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