積分の面積公式(7)

上の図のように接する二つの2次関数と \(y\) 軸に平行な直線 \(x=α\) によって囲まれた部分の面積を \(S\) とします。2次関数はそれぞれ \(f(x)=ax^2+bx+cx (a \gt 0 )\)、 \( g(x)=px^2+qx+r  (p \gt 0 )\)とします\( (ただし、a \gt p)\)。 接点の \(x\) 座標を \(β \) とすると$$S=\frac{|a-p|}{3}(β-α)^3 $$

二つの2次関数を連立させるとその解は、重解 \(β\) なので$$ax^2+bx+cx=px^2+qx+r$$$$(a-p)x^2+(b-q)x+c-r=0$$$$(a-p)(x-β)^2=0$$ となるので、求める面積は
\begin{alignat}{2}
&S=\displaystyle\int_α^β \{ax^2+bx+cx-(px^2+qx+r)\}dx\\
&=\displaystyle\int_α^β \{(a-p)x^2+(b-q)x+c-r\}dx\\
&=(a-p)\displaystyle\int_α^β (x-β)^2dx\\
&=(a-p) \cdot \frac{1}{3}[(x-β)^3]_α^β\\
&=(a-p) \cdot \frac{1}{3} \cdot(-1)(α-β)^3=\frac{a-p}{3}(β-α)^3
\end{alignat}

次に接点の \(x\) 座標を \(α \) とすると


二つの2次関数を連立させたときの解は、重解 \(α\) なので$$ax^2+bx+cx=px^2+qx+r$$$$(a-p)x^2+(b-q)x+c-r=0$$$$(a-p)(x-α)^2=0$$ となるので、求める面積は
\begin{alignat}{2}
&S=\displaystyle\int_α^β \{ax^2+bx+cx-(px^2+qx+r)\}dx\\
&=\displaystyle\int_α^β \{(a-p)x^2+(b-q)x+c-r\}dx\\
&=(a-p)\displaystyle\int_α^β (x-α)^2dx\\
&=(a-p) \cdot \frac{1}{3}[(x-α)^3]_α^β\\
&=\frac{a-p}{3}(β-α)^3
\end{alignat} また \(a \lt 0\) かつ \(p \lt 0\) のときを計算すると (ただし \(a \lt p\))$$S=-\frac{a-p}{3}(β-α)^3$$ 
これらをまとめて$$S=\frac{|a-p|}{3}(β-α)^3$$

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