積分の面積公式(9)

上の図のように4次関数とその二重接線によって囲まれた部分の面積を \(S\) とします。4次関数は \(f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e (a \gt 0 )\)、二重接線を \( g(x)=mx+n\) とします。接点の \(x\) 座標を \(α,β \) とすると$$S=\frac{|a|}{30}(β-α)^5 $$

4次関数と二重接線を連立させるとその解は重解 \(α\) と重解 \(β\) なので$$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=mx+n$$$$ax^4+bx^3+cx^2+(d-m)x+e-n=0$$$$a(x-α)^2(x-β)^2=0$$ となるので、求める面積は
\begin{alignat}{2}
&S=\displaystyle\int_α^β \{ax^4+bx^3+cx^2+dx+e-(mx+n)\}dx\\
& =\displaystyle\int_α^β \{ax^4+bx^3+cx^2+(d-m)x+e-n)\}dx\\
& =a\displaystyle\int_α^β (x-α)^2(x-β)^2dx=\frac{a}{30}(β-α)^5
\end{alignat}
また \(a \lt 0\) のときを計算すると$$S=-\frac{a}{30}(β-α)^5$$ 
これらをまとめて$$S=\frac{|a|}{30}(β-α)^5$$

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