積・商・合成関数の微分

次の式は積・商・合成関数の微分公式です。
\begin{alignat}{2}
&(1)  \{f(x)\cdot g(x)\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\\
&(2)  \left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}’=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x) }{\{g(x)\}^2}\\
&(3)  \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}  [y=f(t), t=g(x)]
\end{alignat}










<証明>

\((1)\) 途中 \(f(x+h)g(x)\) を加えて引きます。
\begin{alignat}{2}
&\{f(x)g(x)\}’=\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\
&          =\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x)+f(x+h)g(x+h)-f(x+h)g(x)}{h}\\
&          =\displaystyle\lim_{h \to 0} \left\{\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \cdot g(x)+f(x+h) \cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right\}\\
&          =f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
\end{alignat}以上より$$\{f(x)\cdot g(x)\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$








\((2)\) 途中 \(f(x)g(x)\) を引いて加えます。
\begin{alignat}{2}
&\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}’ =\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{ \frac{f(x+h)}{g(x+h)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{h}=\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)}{hg(x+h)g(x)}\\
&        =\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x)-\{f(x)g(x+h)-f(x)g(x)\}}{hg(x+h)g(x)}\\
&        =\displaystyle\lim_{h \to 0} \left\{\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \cdot g(x)-f(x) \cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right\} \cdot \frac{1}{g(x+h)g(x)}\\
&        =\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x) }{\{g(x)\}^2}
\end{alignat}以上より$$\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}’=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x) }{\{g(x)\}^2}$$







\((3)\) \(y=f(t), t=g(x) → y=f(g(x))\)
$$\frac{dy}{dx}=\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}$$\(u=g(x+h)-g(x)\) とおくと、 \(g(x+h)=g(x)+u\)
また、\(h \to 0\) のとき、\(u \to 0 \) であるので \begin{alignat}{2}
&=\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(g(x)+u))-f(g(x))}{u} \cdot \frac{u}{h}\\
&=\displaystyle\lim_{h \to 0,u \to 0} \frac{f(t+u)-f(t)}{u} \cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\
&=f'(t) \cdot g'(x)=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}
\end{alignat} 以上より$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}$$




コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です