切断正規分布

切断正規分布は正規分布を左右 \((a \lt x \lt b)\) もしくは片側 \((x \gt a)\) で切断した分布であり、次式で表されます。


\((A)\) 両側切断正規分布の確率密度関数$$f(x)=\frac{\frac{1}{σ}φ\left(\frac{x-μ}{σ}\right)}{Φ\left(\frac{b-μ}{σ}\right)-Φ\left(\frac{a-μ}{σ}\right)}  (a \lt x \lt b)$$

\((B)\) 単一切断正規分布の確率密度関数$$f(x)=\frac{\frac{1}{σ}φ\left(\frac{x-μ}{σ}\right)}{1-Φ\left(\frac{a-μ}{σ}\right)}  (x \gt a)$$


このとき \((A),(B)\) における期待値と分散は

\((A)\) 両側切断正規分布
\begin{alignat}{2}
&E[X]=μ+\frac{φ\left(\frac{a-μ}{σ}\right)-φ\left(\frac{b-μ}{σ}\right)}{Φ\left(\frac{b-μ}{σ}\right)-Φ\left(\frac{a-μ}{σ}\right)}σ\\
&V[X]=σ^2\left[1+\frac{\frac{a-μ}{σ}φ\left(\frac{a-μ}{σ}\right)-\frac{b-μ}{σ}φ\left(\frac{b-μ}{σ}\right)}{Φ\left(\frac{b-μ}{σ}\right)-Φ\left(\frac{a-μ}{σ}\right)}-\left\{\frac{φ\left(\frac{a-μ}{σ}\right)-φ\left(\frac{b-μ}{σ}\right)}{Φ\left(\frac{b-μ}{σ}\right)-Φ\left(\frac{a-μ}{σ}\right)}\right\}^2\right]
\end{alignat}


\((B)\) 単一切断正規分布
\begin{alignat}{2}
&E[X]=μ+\frac{φ\left(\frac{a-μ}{σ}\right)}{1-Φ\left(\frac{a-μ}{σ}\right)}σ\\
&V[X]=σ^2\left[1+\frac{\frac{a-μ}{σ}φ\left(\frac{a-μ}{σ}\right)}{1-Φ\left(\frac{a-μ}{σ}\right)}-\left\{\frac{φ\left(\frac{a-μ}{σ}\right)}{1-Φ\left(\frac{a-μ}{σ}\right)}\right\}^2\right]\\
\end{alignat}


このとき \(φ(x)\) は標準正規分布の確率密度関数。
\(Φ(x)\) は標準正規分布の累積分布関数、すなわち
\begin{alignat}{2}
&φ(x)=\frac{1}{\sqrt{2π}}e^{-\frac{x^2}{2}}\\
&Φ(x)=\frac{1}{\sqrt{2π}}\displaystyle\int_{-\infty}^x e^{-\frac{1}{2}t^2}dt
\end{alignat}とします。





\((A)\) 両側切断正規分布

<導出>
正規分布の切断後にも全確率 \(1\) を保てるように、
補正した分布が、切断正規分布です。

切断後の積分値を求めます。(\(f_N(x)\):正規分布の確率密度関数)
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f_N(x)dx=\displaystyle\int_{-\infty}^a f_N(x)dx+\displaystyle\int_a^b f_N(x)dx+\displaystyle\int_b^{\infty}f_N(x)dx\\
&          1=\displaystyle\int_{-\infty}^a f_N(x)dx+\displaystyle\int_a^b f_N(x)dx+\left(1-\displaystyle\int_{-\infty}^b f_N(x)dx \right)\\
&\displaystyle\int_a^b f_N(x)dx=\displaystyle\int_{-\infty}^b f_N(x)dx-\displaystyle\int_{-\infty}^a f_N(x)dx=F_N(b)-F_N(a)\\
\end{alignat}よって、切断正規分布の確率密度関数を \(f(x)\) とすれば$$f(x)=\frac{f_N(x)}{F_N(b)-F_N(a)}$$(この両辺を区間 \([a,b]\) で積分すれば全確率 \(1\) となる。)

また右辺に含まれる式については
\begin{alignat}{2}
&f_N(x)=\frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}e^{-\frac{(x-μ)^2}{2σ^2}}=\frac{1}{σ}\cdot \frac{1}{\sqrt{2π}}e^{-\frac{(x-μ)^2}{2σ^2}}=\frac{1}{σ}φ\left(\frac{x-μ}{σ}\right)\\
&F_N(a)=\displaystyle\int_{-\infty}^a \frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}e^{-\frac{(t-μ)^2}{2σ^2}}dt=\displaystyle\int_{-\infty}^{\frac{a-μ}{σ}} \frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}e^{-\frac{s^2}{2}}σds=\frac{1}{\sqrt{2π}}\displaystyle\int_{-\infty}^{\frac{a-μ}{σ}} e^{-\frac{s^2}{2}}ds=Φ\left(\frac{a-μ}{σ}\right)\\
&F_N(b)=Φ\left(\frac{b-μ}{σ}\right)
\end{alignat}となるので、
以上より、切断正規分布の確率密度関数は$$f(x)=\frac{\frac{1}{σ}φ\left(\frac{x-μ}{σ}\right)}{Φ\left(\frac{b-μ}{σ}\right)-Φ\left(\frac{a-μ}{σ}\right)}  (a \lt x \lt b)$$






以下、式の煩雑さを避けるために$$\frac{a-μ}{σ}=A,  \frac{b-μ}{σ}=B$$と置くことにします。

\((1)\) 期待値を求めます。

予め、次の積分を計算して置きます。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_A^B e^{-\frac{t^2}{2}}dt=\sqrt{2π}\{Φ(B)-Φ(A)\}\\
&\displaystyle\int_A^B te^{-\frac{t^2}{2}}dt=- \displaystyle\int_A^B (e^{-\frac{t^2}{2}})’dt=-[e^{-\frac{t^2}{2}}]_A^B=e^{-\frac{A^2}{2}}-e^{-\frac{B^2}{2}}=\sqrt{2π}\{φ(A)-φ(B)\}\\
&\displaystyle\int_A^B t^2e^{-\frac{t^2}{2}}dt=- \displaystyle\int_A^B t(e^{-\frac{t^2}{2}})’dt=-\left([te^{-\frac{t^2}{2}}]_A^B-\displaystyle\int_A^B e^{-\frac{t^2}{2}}dt\right)\\
&          =Ae^{-\frac{A^2}{2}}-Be^{-\frac{B^2}{2}}+\sqrt{2π}\{Φ(B)-Φ(A)\}\\
&          =\sqrt{2π}\{Aφ(A)-Bφ(B)\}+\sqrt{2π}\{Φ(B)-Φ(A)\}
\end{alignat}

\begin{alignat}{2}
&E[X]=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} xf(x)dx=\frac{1}{Φ\left(\frac{b-μ}{σ}\right)-Φ\left(\frac{a-μ}{σ}\right)}\displaystyle\int_a^b x \cdot \frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}e^{-\frac{(x-μ)^2}{2σ^2}}dx\\
&    =\frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}\cdot \frac{1}{Φ(B)-Φ(A)}\displaystyle\int_a^b xe^{-\frac{(x-μ)^2}{2σ^2}}dx
\end{alignat}
積分の計算をします。\(\displaystyle \frac{x-μ}{σ}=t\) と置きます。\((dx=σdt)\)
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_a^b xe^{-\frac{(x-μ)^2}{2σ^2}}dx=\displaystyle\int_A^B (σt+μ)e^{-\frac{t^2}{2}}σdt\\
&            =σ^2\displaystyle\int_A^B te^{-\frac{t^2}{2}}dt+μσ\displaystyle\int_A^B e^{-\frac{t^2}{2}}dt\\
&            =\sqrt{2πσ^2}\{φ(A)-φ(B)\}σ+\sqrt{2πσ^2}\{Φ(B)-Φ(A)\}μ
\end{alignat}よって、この結果を元の式に代入すると$$E[X]=μ+\frac{φ(A)-φ(B)}{Φ(B)-Φ(A)}σ=μ+\frac{φ\left(\frac{a-μ}{σ}\right)-φ\left(\frac{b-μ}{σ}\right)}{Φ\left(\frac{b-μ}{σ}\right)-Φ\left(\frac{a-μ}{σ}\right)}σ$$







\((2)\) 分散を求めます。
\begin{alignat}{2}
&E[X^2]=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x^2f(x)dx=\frac{1}{Φ\left(\frac{b-μ}{σ}\right)-Φ\left(\frac{a-μ}{σ}\right)}\displaystyle\int_a^b x^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}e^{-\frac{(x-μ)^2}{2σ^2}}dx\\
&    =\frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}\cdot \frac{1}{Φ(B)-Φ(A)}\displaystyle\int_a^b x^2e^{-\frac{(x-μ)^2}{2σ^2}}dx
\end{alignat}
積分の計算をします。\(\displaystyle \frac{x-μ}{σ}=t\) と置きます。\((dx=σdt)\)
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_a^b x^2e^{-\frac{(x-μ)^2}{2σ^2}}dx=\displaystyle\int_A^B (σt+μ)^2e^{-\frac{t^2}{2}}σdt\\
&            =\displaystyle\int_A^B (σ^2t^2+2μσt+μ^2)^2e^{-\frac{t^2}{2}}σdt\\
&            =σ^3\displaystyle\int_A^B t^2e^{-\frac{t^2}{2}}dt+2μσ^2\displaystyle\int_A^B te^{-\frac{t^2}{2}}dt+μ^2σ\displaystyle\int_A^B e^{-\frac{t^2}{2}}dt\\
&            =\sqrt{2πσ^2}\{Aφ(A)-Bφ(B)+Φ(B)-Φ(A)\}σ^2+\sqrt{2πσ^2}\{φ(A)-φ(B)\}\cdot 2μσ+\sqrt{2πσ^2}\{Φ(B)-Φ(A)\}μ^2
\end{alignat}よって、この結果を元の式に代入すると
\begin{alignat}{2}
&E[X^2]=σ^2 \cdot \frac{Aφ(A)-Bφ(B)+Φ(B)-Φ(A)}{Φ(B)-Φ(A)}+2μσ\cdot \frac{φ(A)-φ(B)}{Φ(B)-Φ(A)}+μ^2\\
&     =μ^2+σ^2+σ^2 \cdot \frac{Aφ(A)-Bφ(B)}{Φ(B)-Φ(A)}+2μσ\cdot \frac{φ(A)-φ(B)}{Φ(B)-Φ(A)}
\end{alignat}

以上より、分散は
\begin{alignat}{2}
&V[X]=E[X^2]-E[X]^2=μ^2+σ^2+σ^2 \cdot \frac{Aφ(A)-Bφ(B)}{Φ(B)-Φ(A)}+2μσ\cdot \frac{φ(A)-φ(B)}{Φ(B)-Φ(A)}-\left\{μ+\frac{φ(A)-φ(B)}{Φ(B)-Φ(A)}σ\right\}^2\\
&    =μ^2+σ^2+σ^2 \cdot \frac{Aφ(A)-Bφ(B)}{Φ(B)-Φ(A)}+2μσ\cdot \frac{φ(A)-φ(B)}{Φ(B)-Φ(A)}-μ^2-2μσ\cdot \frac{φ(A)-φ(B)}{Φ(B)-Φ(A)}-σ^2\left\{\frac{φ(A)-φ(B)}{Φ(B)-Φ(A)}\right\}^2\\
&    =σ^2+σ^2 \cdot \frac{Aφ(A)-Bφ(B)}{Φ(B)-Φ(A)}-σ^2\left\{\frac{φ(A)-φ(B)}{Φ(B)-Φ(A)}\right\}^2\\
&    =σ^2\left[1+\frac{Aφ(A)-Bφ(B)}{Φ(B)-Φ(A)}-\left\{\frac{φ(A)-φ(B)}{Φ(B)-Φ(A)}\right\}^2\right]\\
&    =σ^2\left[1+\frac{\frac{a-μ}{σ}φ\left(\frac{a-μ}{σ}\right)-\frac{b-μ}{σ}φ\left(\frac{b-μ}{σ}\right)}{Φ\left(\frac{b-μ}{σ}\right)-Φ\left(\frac{a-μ}{σ}\right)}-\left\{\frac{φ\left(\frac{a-μ}{σ}\right)-φ\left(\frac{b-μ}{σ}\right)}{Φ\left(\frac{b-μ}{σ}\right)-Φ\left(\frac{a-μ}{σ}\right)}\right\}^2\right]
\end{alignat}








\((B)\) 単一切断正規分布

<導出>
\((A)\) と同様に切断後の積分値を求めます。(\(f_N(x)\):正規分布の確率密度関数)
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f_N(x)dx=\displaystyle\int_{-\infty}^a f_N(x)dx+\displaystyle\int_a^{\infty} f_N(x)dx\\
&          1=F_N(a)+\displaystyle\int_a^{\infty} f_N(x)dx\\
&\displaystyle\int_a^{\infty} f_N(x)dx=1-F_N(a)
\end{alignat}よって、切断正規分布の確率密度関数を \(f(x)\) とすれば$$f(x)=\frac{f_N(x)}{1-F_N(a)}=\frac{\frac{1}{σ}φ\left(\frac{x-μ}{σ}\right)}{1-Φ\left(\frac{a-μ}{σ}\right)}  (x \gt a)$$(この両辺を区間 \([a,\infty]\) で積分すれば全確率 \(1\) となる。)







\((1)\) 期待値を求めます。

予め、次の積分を計算して置きます。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_A^{\infty} e^{-\frac{t^2}{2}}dt=\sqrt{2π}\left(\frac{1}{\sqrt{2π}}\displaystyle\int_A^{\infty} e^{-\frac{t^2}{2}}dt\right)=\sqrt{2π}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2π}}\displaystyle\int_{-\infty}^A e^{-\frac{t^2}{2}}dt\right)=\sqrt{2π}\{1-Φ(A)\}\\
&\displaystyle\int_A^{\infty} te^{-\frac{t^2}{2}}dt=- \displaystyle\int_A^{\infty} (e^{-\frac{t^2}{2}})’dt=-[e^{-\frac{t^2}{2}}]_A^{\infty}=e^{-\frac{A^2}{2}}=\sqrt{2π}φ(A)\\
&\displaystyle\int_A^{\infty} t^2e^{-\frac{t^2}{2}}dt=- \displaystyle\int_A^{\infty} t(e^{-\frac{t^2}{2}})’dt=-\left([te^{-\frac{t^2}{2}}]_A^{\infty}-\displaystyle\int_A^{\infty} e^{-\frac{t^2}{2}}dt\right)\\
&          =Ae^{-\frac{A^2}{2}}+\displaystyle\int_A^{\infty} e^{-\frac{t^2}{2}}dt\\
&          =\sqrt{2π}Aφ(A)+\sqrt{2π}\{1-Φ(A)\}\\
\end{alignat}



\begin{alignat}{2}
&E[X]=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} xf(x)dx=\frac{1}{1-Φ\left(\frac{a-μ}{σ}\right)}\displaystyle\int_a^{\infty} x \cdot \frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}e^{-\frac{(x-μ)^2}{2σ^2}}dx\\
&    =\frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}\cdot \frac{1}{1-Φ(A)}\displaystyle\int_a^{\infty} xe^{-\frac{(x-μ)^2}{2σ^2}}dx
\end{alignat}
積分の計算をします。\(\displaystyle \frac{x-μ}{σ}=t\) と置きます。\((dx=σdt)\)
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_a^{\infty} xe^{-\frac{(x-μ)^2}{2σ^2}}dx=\displaystyle\int_A^{\infty} (σt+μ)e^{-\frac{t^2}{2}}σdt\\
&             =σ^2\displaystyle\int_A^{\infty} te^{-\frac{t^2}{2}}dt+μσ\displaystyle\int_A^{\infty} e^{-\frac{t^2}{2}}dt\\
&             =\sqrt{2πσ^2}φ(A)σ+\sqrt{2πσ^2}\{1-Φ(A)\}μ
\end{alignat}よって、この結果を元の式に代入すると$$E[X]=μ+\frac{φ(A)}{1-Φ(A)}σ=μ+\frac{φ\left(\frac{a-μ}{σ}\right)}{1-Φ\left(\frac{a-μ}{σ}\right)}σ$$







\((2)\) 分散を求めます。
\begin{alignat}{2}
&E[X^2]=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x^2f(x)dx=\frac{1}{1-Φ\left(\frac{a-μ}{σ}\right)}\displaystyle\int_a^{\infty} x^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}e^{-\frac{(x-μ)^2}{2σ^2}}dx\\
&    =\frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}\cdot \frac{1}{1-Φ(A)}\displaystyle\int_a^{\infty} x^2e^{-\frac{(x-μ)^2}{2σ^2}}dx
\end{alignat}
積分の計算をします。\(\displaystyle \frac{x-μ}{σ}=t\) と置きます。\((dx=σdt)\)
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_a^{\infty} x^2e^{-\frac{(x-μ)^2}{2σ^2}}dx=\displaystyle\int_A^{\infty} (σt+μ)^2e^{-\frac{t^2}{2}}σdt\\
&            =\displaystyle\int_A^{\infty} (σ^2t^2+2μσt+μ^2)^2e^{-\frac{t^2}{2}}σdt\\
&            =σ^3\displaystyle\int_A^{\infty} t^2e^{-\frac{t^2}{2}}dt+2μσ^2\displaystyle\int_A^{\infty} te^{-\frac{t^2}{2}}dt+μ^2σ\displaystyle\int_A^{\infty} e^{-\frac{t^2}{2}}dt\\
&            =\sqrt{2πσ^2}\{Aφ(A)+1-Φ(A)\}σ^2+\sqrt{2πσ^2}φ(A)\cdot 2μσ+\sqrt{2πσ^2}\{1-Φ(A)\}μ^2
\end{alignat}よって、この結果を元の式に代入すると
\begin{alignat}{2}
&E[X^2]=σ^2 \cdot \frac{Aφ(A)+1-Φ(A)}{1-Φ(A)}+2μσ\cdot \frac{φ(A)}{1-Φ(A)}+μ^2\\
&     =μ^2+σ^2+σ^2 \cdot \frac{Aφ(A)}{1-Φ(A)}+2μσ\cdot \frac{φ(A)}{1-Φ(A)}
\end{alignat}

以上より、分散は
\begin{alignat}{2}
&V[X]=E[X^2]-E[X]^2=μ^2+σ^2+σ^2 \cdot \frac{Aφ(A)}{1-Φ(A)}+2μσ\cdot \frac{φ(A)}{1-Φ(A)}-\left\{μ+\frac{φ(A)}{1-Φ(A)}σ\right\}^2\\
&    =μ^2+σ^2+σ^2 \cdot \frac{Aφ(A)}{1-Φ(A)}+2μσ\cdot \frac{φ(A)}{1-Φ(A)}-μ^2-2μσ\cdot \frac{φ(A)}{1-Φ(A)}-σ^2\left\{\frac{φ(A)}{1-Φ(A)}\right\}^2\\
&    =σ^2+σ^2 \cdot \frac{Aφ(A)}{1-Φ(A)}-σ^2\left\{\frac{φ(A)}{1-Φ(A)}\right\}^2\\
&    =σ^2\left[1+\frac{Aφ(A)}{1-Φ(A)}-\left\{\frac{φ(A)}{1-Φ(A)}\right\}^2\right]\\
&    =σ^2\left[1+\frac{\frac{a-μ}{σ}φ\left(\frac{a-μ}{σ}\right)}{1-Φ\left(\frac{a-μ}{σ}\right)}-\left\{\frac{φ\left(\frac{a-μ}{σ}\right)}{1-Φ\left(\frac{a-μ}{σ}\right)}\right\}^2\right]
\end{alignat}


ここで次の「ミルズ比」を用いると$$R\left(\frac{x-μ}{σ}\right)=\frac{1-Φ\left(\frac{x-μ}{σ}\right)}{φ\left(\frac{x-μ}{σ}\right)}$$
単一切断正規分布の期待値と分散は
\begin{alignat}{2}
&E[X]=μ+\frac{σ}{R\left(\frac{a-μ}{σ}\right)}\\
&V[X]=σ^2\left[1+\frac{\frac{a-μ}{σ}}{R\left(\frac{a-μ}{σ}\right)}-\left\{\frac{1}{R\left(\frac{a-μ}{σ}\right)}\right\}^2\right]
\end{alignat}と表せます。

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