式の計算

\begin{alignat}{2}
&(1) (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\\
&(2) (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\\
&(3) (a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3\\
&(4) (a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3\\
&(5) (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\\
&(6) (a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3\\
&   +3(ab^2+b^2c+ca^2+a^2b+bc^2+c^2a)+6abc\\
&(7) (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\\
&   =a^3+b^3+c^3+3abc\\
&(8) (a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)=a^4+a^2b^2+b^4\\
&(9) (a^2+\sqrt{2}ab+b^2)(a^2-\sqrt{2}ab+b^2)=a^4+b^4\\
&(10) -(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)\\
&   =a^4+b^4+c^4-2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\\
&(11) (x+a)(x+b)(x+c)\\
&   =x^3+(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x+abc\\
&(12) (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) \\
&   =x^4+(a+b+c+d)x^3+(ab+ac+ad+bc+bd+cd)x^2\\
&   +(abc+abd+acd+bcd)x+abcd\\
&(13) (a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax-by)^2+(ay+bx)^2\\
&(14) (a^2+pb^2)(c^2+pd^2)=(ac-pbd)^2+p(ad+bc)^2\\
&(15) (a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+ \cdots +b^{n-1})=a^n-b^n\\
&(16) (a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+ \cdots +b^{n-1})=a^n+b^n (n:奇数)\\
&(17) (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)-(ax+by+cz)^2\\
&   = (cx-az)^2+(ay-bx)^2+(bz-cy)^2\\
&(18) X=ax+by+cz, Y=ay+bz+cx, Z=az+bx+cy のとき\\
&    (a^3+b^3+c^3-3abc)(x^3+y^3+z^3-3xyz)\\
&    =X^3+Y^3+Z^3-3XYZ
\end{alignat}
\((15)(16)(17)(18)\) のみ証明します。









$$(15) a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+ \cdots +a^2b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1}$$   この数列の初項 は \(a^{n-1}\) , 公比は \(\frac{b}{a}\) , 項数は \(n\) だから $$=\frac{a^{n-1}\left\{1-\left(\frac{b}{a}\right)^n\right\}}{1-\frac{b}{a}}=\frac{a^n\left\{1-\left(\frac{b}{a}\right)^n\right\}}{a-b}=\frac{a^n-b^n}{a-b}$$$$ (a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+ \cdots +b^{n-1})=a^n-b^n $$
$$(16) a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2- \cdots +a^2b^{n-3}-ab^{n-2}+b^{n-1}$$   この数列の初項 は \(a^{n-1}\) , 公比は \(-\frac{b}{a}\) , 項数は \(n\) (奇数) だから $$=\frac{a^{n-1}\left\{1-\left(-\frac{b}{a}\right)^n\right\}}{1+\frac{b}{a}}=\frac{a^n\left\{1+\left(\frac{b}{a}\right)^n\right\}}{a+b}=\frac{a^n+b^n}{a+b}$$$$(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+ \cdots +b^{n-1})=a^n+b^n$$
$$(17) \vec{A}=(a,b,c)  \vec{X}=(x,y,z) とすると$$\begin{cases}
|\vec{A}|^2=a^2+b^2+c^2  , |\vec{X}|^2=x^2+y^2+z^2\\
\vec{A}\cdot \vec{X}=ax+by+cz\\
\vec{A}×\vec{X}=(cx-az,ay-bx,bz-cy)\\
\vec{A}\cdot \vec{X}=|\vec{A}||\vec{X}| \cos θ , |\vec{A}×\vec{X}|=|\vec{A}||\vec{X}| \sin θ であるから\\
\end{cases} \begin{alignat}{2}
&|\vec{A}|^2|\vec{X}|^2= |\vec{A}|^2|\vec{X}|^2 ( \sin^2 θ+ \cos^2 θ)\\
&      = (|\vec{A}||\vec{X}| \sin θ)^2+(|\vec{A}||\vec{X}| \cos θ)^2=|\vec{A}×\vec{X}|^2+(\vec{A}\cdot \vec{X})^2
\end{alignat}$$ |\vec{A}|^2|\vec{X}|^2-(\vec{A}\cdot \vec{X})^2= |\vec{A}×\vec{X}|^2 $$ $$(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)-(ax+by+cz)^2$$$$= (cx-az)^2+(ay-bx)^2+(bz-cy)^2$$

\begin{alignat}{2}
&(18) X^3+Y^3+Z^3-3XYZ\\
&=(X+Y+Z)(X^2+Y^2+Z^2-XY-YZ-ZX)\\
&=(X+Y+Z)\{(X+Y+Z)^2-3(XY+YZ+ZX)\} \cdots (A)
\end{alignat}\begin{cases}
a+b+c=P , ab+bc+ca=Q\\
x+y+z=R , xy+yz+zx=S とします。
\end{cases}\begin{alignat}{2}
&X+Y+Z=(ax+by+cz)+(ay+bz+cx)+(az+bx+cy)\\
&=a(x+y+z)+b(x+y+z)+c(x+y+z)\\
&=(a+b+c)(x+y+z)=PR
\end{alignat} \begin{alignat}{2}
&XY+YZ+ZX=(ax+by+cz)(ay+bz+cx)\\
&+(ay+bz+cx)(az+bx+cy)+(az+bx+cy)(ax+by+cz)
\end{alignat} \begin{cases}
XY=a^2xy+abxz+acx^2+aby^2+b^2yz+bcxy+acyz+bcz^2+c^2xz\\
YZ=a^2yz+abxy+acy^2+abz^2+b^2xz+bcyz+acxz+bcx^2+c^2xy\\
ZX=a^2xz+abyz+acz^2+abx^2+b^2xy+bcxz+acxy+bcy^2+c^2yz
\end{cases}\begin{alignat}{2}
&XY+YZ+ZX=a^2(xy+yz+zx)+ab(xy+yz+zx)\\
&+ac(x^2+y^2+z^2)+ab(x^2+y^2+z^2)+b^2(xy+yz+zx)\\
&+bc(xy+yz+zx)+ac(xy+yz+zx)+bc(x^2+y^2+z^2)+c^2(xy+yz+zx)\\
&=(xy+yz+zx)(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)+(x^2+y^2+z^2)(ab+bc+ca)\\
&=(xy+yz+zx)\{(a+b+c)^2-(ab+bc+ca)\}\\
&   +\{(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)\}(ab+bc+ca)\\
&=S(P^2-Q)+(R^2-2S)Q
\end{alignat} \begin{alignat}{2}
&(A)=(X+Y+Z)\{(X+Y+Z)^2-3(XY+YZ+ZX)\} \\
&   =PR[(PR)^2-3\{S(P^2-Q)+(R^2-2S)Q\}]\\
&   =PR\{P^2R^2-3S(P^2-Q)-3Q(R^2-2S)\}\\
&   =PR(P^2R^2-3SP^2+3SQ-3QR^2+6QS)\\
&   =PR(P^2R^2-3SP^2-3QR^2+9SQ)\\
&   =PR\{P^2(R^2-3S)-3Q(R^2-3S)\}\\
&   =PR(P^2-3Q)(R^2-3S)
\end{alignat} 置いた文字を元に戻します。\begin{alignat}{2}
&=(a+b+c)(x+y+z)\{(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)\}\\
&    ×\{(x+y+z)^2-3(xy+yz+zx)\}\\
&= (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\\
&    ×(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) \\
&=(a^3+b^3+c^3-3abc)(x^3+y^3+z^3-3xyz)
\end{alignat}

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