shi(x)e^{-μx}[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} \mathrm{shi}(x) e^{-μx}dx=\frac{1}{2μ}\log \frac{μ+1}{μ-1}\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} \mathrm{chi}(x) e^{-μx}dx=-\frac{1}{2μ}\log (μ^2-1)\\
\end{alignat}ただし、全て \(μ \gt 1\)












<証明>

\((1)\) \(\displaystyle \mathrm{shi}(x)=\displaystyle\int_0^1 \frac{\sinh tx}{t}dx\) を代入します。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\infty} \mathrm{shi}(x) e^{-μx}dx&=\displaystyle\int_0^{\infty} \left(\displaystyle\int_0^1 \frac{\sinh tx}{t}dx\right)e^{-μx}dx\\
&=\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{t} \left(\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-μx} \sinh txdx\right)dt\\
&=\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{t} \left(\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-μx} \cdot \frac{e^{tx}-e^{-tx}}{2}dx\right)dt\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{t} \left[\displaystyle\int_0^1 \left\{e^{-(μ-t)x}-e^{-(μ+t)x}dx\right\}\right]dt\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{t}\left[-\frac{e^{-(μ-t)x}}{μ-t}+\frac{e^{-(μ+t)x}}{μ+t}\right]_0^{\infty}dt\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{t} \left(\frac{1}{μ-t}-\frac{1}{μ+t}\right)dt\\
&=-\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{t} \left(\frac{1}{t-μ}+\frac{1}{t+μ}\right)dt\\
&=-\frac{1}{2μ}\displaystyle\int_0^1 \left(\frac{1}{t-μ}-\frac{1}{t}+\frac{1}{t}-\frac{1}{t+μ}\right)dt\\
&=\frac{1}{2μ} \displaystyle\int_0^1 \left(\frac{1}{μ+t}+\frac{1}{μ-t}\right)dt\\
&=\frac{1}{2μ}[\log |μ+t|-\log |μ-t|]_0^1\\
&=\frac{1}{2μ}\left[\log \left|\frac{μ+t}{μ-t}\right|\right]_0^1=\frac{1}{2μ}\log \frac{μ+1}{μ-1}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \mathrm{shi}(x) e^{-μx}dx=\frac{1}{2μ}\log \frac{μ+1}{μ-1}$$







\((2)\) \(\displaystyle \mathrm{chi}(x)=γ+\log x+\displaystyle\int_0^1 \frac{\cosh tx-1}{t}dt\) を代入します。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\infty} \mathrm{chi}(x) e^{-μx}dx&=\displaystyle\int_0^{\infty} \left(γ+\log x+\displaystyle\int_0^1 \frac{\cosh tx-1}{t}dt\right) e^{-μx}dx\\
&=γ\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-μx}dx+\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-μx}\log xdx+\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{t} \left\{\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-μx}(\cosh tx-1)dx\right\}dt\\
\end{alignat}それぞれ積分を計算します。
$$(A)  \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-μx}dx=\left[-\frac{1}{μ}e^{-μx}\right]_0^{\infty} =\frac{1}{μ}$$
\((B)\) \(μx=y\) と置きます。\((μdx=dy)\)
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-μx} \log xdx&= \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-y} \left(\log \frac{y}{μ}\right)dy=\frac{1}{μ}\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-y} (\log y-\log μ)dy\\
&=\frac{1}{μ}\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-y} \log ydy-\frac{\log μ}{μ}\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-y}dy\\
&=-\frac{γ}{μ}-\frac{\log μ}{μ} [-e^{-y}]_0^{\infty}=-\frac{γ}{μ}-\frac{\log μ}{μ}\\
\end{alignat}
\begin{alignat}{2}
&(C)  \displaystyle\int_0^1 \frac{1}{t} \left\{\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-μx}(\cosh tx-1)dx\right\}dt\\
&=\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{t} \left\{\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-μx}\left(\frac{e^{tx}+e^{-tx}}{2}-1\right)dx\right\}dt\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{t} \left[\displaystyle\int_0^{\infty} \{e^{-(μ-t)x}+e^{-(μ+t)x}-2e^{-μx}\}dx\right]dt\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{t} \left[-\frac{e^{-(μ-t)x}}{μ-t}-\frac{e^{-(μ+t)x}}{μ+t}+\frac{2e^{-μx}}{μ}\right]_0^{\infty}dt\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{t} \left(\frac{1}{μ-t}+\frac{1}{μ+t}-\frac{2}{μ}\right)dt\\
&=-\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{t} \left(\frac{1}{t-μ}-\frac{1}{t+μ}+\frac{2}{μ}\right)dt\\
&=-\frac{1}{2μ}\displaystyle\int_0^1 \left(\frac{1}{t-μ}-\frac{1}{t}-\frac{1}{t}+\frac{1}{t+μ}+\frac{2}{μ}\right)\\
&=-\frac{1}{2μ}\displaystyle\int_0^1 \left(\frac{1}{μ+t}-\frac{1}{μ-t}\right)\\
&=-\frac{1}{2μ} \left[\log|μ+t|+\log |μ-t|\right]_0^1\\
&=-\frac{1}{2μ}[\log |μ^2-t^2|]_0^1=-\frac{1}{2μ}\log (μ^2-1)+\frac{1}{μ}\log μ
\end{alignat}よって
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\infty} \mathrm{chi}(x) e^{-μx}dx&=\frac{γ}{μ}-\frac{γ}{μ}-\frac{\log μ}{μ}-\frac{1}{2μ}\log (μ^2-1)+\frac{1}{μ}\log μ\\
&=-\frac{1}{2μ}\log (μ^2-1)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \mathrm{chi}(x) e^{-μx}dx=-\frac{1}{2μ}\log (μ^2-1)$$

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