Σ[k=0,n-1]sin(x+ky)などの級数

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \sin (x+ky)=\sin \left(x+\frac{n-1}{2}y\right)\sin \frac{ny}{2} \csc \frac{y}{2}\\
&(2)  \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \cos (x+ky)=\cos \left(x+\frac{n-1}{2}y\right)\sin \frac{ny}{2} \csc \frac{y}{2}\\
&(3)  \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \sinh (x+ky)=\sinh \left(x+\frac{n-1}{2}y\right)\sinh \frac{ny}{2} \mathrm{csch}\,\frac{y}{2}\\
&(4)  \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \cosh (x+ky)=\cosh \left(x+\frac{n-1}{2}y\right)\sinh \frac{ny}{2} \mathrm{csch}\, \frac{y}{2}\\
\end{alignat}









<証明>

次の級数における等式を用います。(詳細はこちらです)
\begin{alignat}{2}
&(A)  \displaystyle\sum_{k=1}^n \sin kx=\sin \frac{n+1}{2}x\sin \frac{nx}{2} \csc \frac{x}{2}\\
&(B)  \displaystyle\sum_{k=0}^n \cos kx=\sin \frac{n+1}{2}x \cos \frac{nx}{2} \csc \frac{x}{2}\\
\end{alignat}





\begin{alignat}{2}
(1)  \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \sin (x+ky)&=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} (\sin x \cos ky+\cos x \sin ky)\\
&=\sin x \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \cos ky+\cos x\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \sin ky\\
&=\sin x \left(\sin \frac{ny}{2} \cos \frac{n-1}{2}y \csc \frac{y}{2}\right)+\cos x \left(\sin \frac{ny}{2} \sin \frac{n-1}{2}y \csc \frac{y}{2}\right)\\
&=\left(\sin x \cos \frac{n-1}{2}y+\cos x \sin \frac{n-1}{2}y\right)\sin \frac{ny}{2} \csc \frac{y}{2}\\
&=\sin \left(x+\frac{n-1}{2}y\right)\sin \frac{ny}{2} \csc \frac{y}{2}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \sin (x+ky)=\sin \left(x+\frac{n-1}{2}y\right)\sin \frac{ny}{2} \csc \frac{y}{2}$$







\begin{alignat}{2}
(2)  \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \cos (x+ky)&=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} (\cos x \cos ky-\sin x \sin ky)\\
&=\cos x \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \cos ky-\sin x\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \sin ky\\
&=\cos x \left(\sin \frac{ny}{2} \cos \frac{n-1}{2}y \csc \frac{y}{2}\right)-\sin x \left(\sin \frac{ny}{2} \sin \frac{n-1}{2}y \csc \frac{y}{2}\right)\\
&=\left(\cos x \cos \frac{n-1}{2}y-\sin x \sin \frac{n-1}{2}y\right)\sin \frac{ny}{2} \csc \frac{y}{2}\\
&=\cos \left(x+\frac{n-1}{2}y\right)\sin \frac{ny}{2} \csc \frac{y}{2}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \cos (x+ky)=\cos \left(x+\frac{n-1}{2}y\right)\sin \frac{ny}{2} \csc \frac{y}{2}$$







\((3)\) 次の \((1)\) で得た式で$$\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \sin (x+ky)=\sin \left(x+\frac{n-1}{2}y\right)\sin \frac{ny}{2} \csc \frac{y}{2}$$\(x \to ix,\,y \to iy\) とします。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \sin (ix+iky)&=\sin \left(ix+\frac{n-1}{2} \cdot iy\right)\sin \frac{iny}{2} \csc \frac{iy}{2}\\
i\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \sinh (x+ky)&=i\sinh \left(x+\frac{n-1}{2}y\right) \cdot i\sinh \frac{ny}{2} \cdot \frac{1}{i}\mathrm{csch}\, \frac{y}{2}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \sinh (x+ky)=\sinh \left(x+\frac{n-1}{2}y\right)\sinh \frac{ny}{2} \mathrm{csch}\,\frac{y}{2}$$







\((4)\) 次の \((2)\) で得た式で$$\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \cos (x+ky)=\cos \left(x+\frac{n-1}{2}y\right)\sin \frac{ny}{2} \csc \frac{y}{2}$$\(x \to ix,\,y \to iy\) とします。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \cos (ix+iky)&=\cos \left(ix+\frac{n-1}{2} \cdot iy\right)\sin \frac{iny}{2} \csc \frac{iy}{2}\\
\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \cosh (x+ky)&=\cosh \left(x+\frac{n-1}{2}y\right) \cdot i\sinh \frac{ny}{2} \cdot \frac{1}{i}\mathrm{csch}\, \frac{y}{2}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \cosh (x+ky)=\cosh \left(x+\frac{n-1}{2}y\right)\sinh \frac{ny}{2} \mathrm{csch}\, \frac{y}{2}$$

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です