Σ[k=0,n]1/2^{2k}tan^{2}(x/2^k)などの級数

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\sum_{k=0}^n \frac{1}{2^k} \tan \frac{x}{2^k}=\frac{1}{2^n} \cot \frac{x}{2^n} -2 \cot 2x\\
&(2)  \displaystyle\sum_{k=0}^n \frac{1}{2^{2k}}\tan^2 \frac{x}{2^k}=\frac{2^{2n+2}-1}{3 \cdot 2^{2n-1}}+4 \cot^2 2x-\frac{1}{2^{2n}}\cot^2 \frac{x}{2^n}\\
\end{alignat}










<証明>

どちらも数学的帰納法で証明します。

\((1)\) \((α)\) \(n=0\) のとき、左辺 \(=\tan x\) であり、右辺については
\begin{alignat}{2}
\cot x-2 \cot 2x&=\frac{1}{\tan x}-2 \cdot \frac{1-\tan^2 x}{2 \tan x}\\
&=\frac{1-(1-\tan^2 x)}{\tan x}=\frac{\tan^2 x}{\tan x}=\tan x\\
\end{alignat}となるので \(n=0\) のとき成り立つ。

\((β)\) \(n=m\) のとき$$\displaystyle\sum_{k=0}^m \frac{1}{2^k} \tan \frac{x}{2^k}=\frac{1}{2^m} \cot \frac{x}{2^m} -2 \cot 2x$$が成り立つと仮定します。

\(n=m+1\) のときを計算します。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\sum_{k=0}^{m+1} \frac{1}{2^k} \tan \frac{x}{2^k}&=\frac{1}{2^{m+1}}\tan \frac{x}{2^{m+1}}+\displaystyle\sum_{k=0}^m \frac{1}{2^k} \tan \frac{x}{2^k}\\
&=\frac{1}{2^{m+1}}\tan \frac{x}{2^{m+1}}+\frac{1}{2^m} \cot \frac{x}{2^m} -2 \cot 2x\\
&=\frac{1}{2^{m+1}}\left\{\tan \frac{x}{2^{m+1}} +2 \cot \left(2 \cdot \frac{x}{2^{m+1}}\right)\right\}-2 \cot 2x\\
&=\frac{1}{2^{m+1}}\left(\tan \frac{x}{2^{m+1}} +2 \cdot \frac{1-\tan^2 \frac{x}{2^{m+1}}}{2 \tan \frac{x}{2^{m+1}}}\right)-2 \cot 2x\\
&=\frac{1}{2^{m+1}}\left\{\frac{\tan^2 \frac{x}{2^{m+1}}+\left(1-\tan^2 \frac{x}{2^{m+1}}\right)}{\tan \frac{x}{2^{m+1}}}\right\}-2 \cot 2x\\
&=\frac{1}{2^{m+1}} \cdot \frac{1}{\tan \frac{x}{2^{m+1}}}-2 \cot 2x=\frac{1}{2^{m+1}}\cot \frac{x}{2^{m+1}}-2 \cot 2x
\end{alignat}となって \(n=m+1\) のときも成り立つ。以上より$$\displaystyle\sum_{k=0}^n \frac{1}{2^k} \tan \frac{x}{2^k}=\frac{1}{2^n} \cot \frac{x}{2^n} -2 \cot 2x$$







\((2)\) \((α)\) \(n=0\) のとき、左辺 \(=\tan^2 x\) であり、右辺については
\begin{alignat}{2}
\frac{2^2-1}{3 \cdot 2^{-1}}+4 \cot^2 2x-\cot^2 x&=2+4 \cot^2 2x-\cot^2 x\\
&=(2 \cot 2x+\cot x)(2 \cot 2x-\cot x)+2\\
&=\left(\frac{1-\tan^2 x}{\tan x}+\frac{1}{\tan x}\right)\left(\frac{1-\tan^2 x}{\tan x}-\frac{1}{\tan x}\right)+2\\
&=\frac{2-\tan^2 x}{\tan x} \cdot (-\tan x)+2\\
&=-2+\tan^2 x+2=\tan^2 x
\end{alignat}となるので \(n=0\) のとき成り立つ。

\((β)\) \(n=m\) のとき$$\displaystyle\sum_{k=0}^m \frac{1}{2^{2k}}\tan^2 \frac{x}{2^k}=\frac{2^{2m+2}-1}{3 \cdot 2^{2m-1}}+4 \cot^2 2x-\frac{1}{2^{2m}}\cot^2 \frac{x}{2^m}$$が成り立つと仮定します。

\(n=m+1\) のときを計算します。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\sum_{k=0}^{m+1} \frac{1}{2^{2k}}\tan^2 \frac{x}{2^k}&=\frac{1}{2^{2m+2}}\tan^2 \frac{x}{2^{m+1}}+\displaystyle\sum_{k=0}^{m} \frac{1}{2^{2k}}\tan^2 \frac{x}{2^k}\\
&=\frac{1}{2^{2m+2}}\tan^2 \frac{x}{2^{m+1}}+\frac{2^{2m+2}-1}{3 \cdot 2^{2m-1}}+4 \cot^2 2x-\frac{1}{2^{2m}}\cot^2 \frac{x}{2^m}\\
&=\frac{1}{2^{2m+2}}\left\{\tan^2 \frac{x}{2^{m+1}}-4 \cot^2 \left(2 \cdot \frac{x}{2^{m+1}}\right)\right\}+\frac{2^{2m+2}-1}{3 \cdot 2^{2m-1}}+4 \cot^2 2x\\
&=\frac{1}{2^{2m+2}}\left\{\tan^2 \frac{x}{2^{m+1}}-4\left(\frac{1-\tan^2 \frac{x}{2^{m+1}}}{2 \tan^2 \frac{x}{2^{m+1}}}\right)^2\right\}+\frac{2^{2m+2}-1}{3 \cdot 2^{2m-1}}+4 \cot^2 2x\\
&=\frac{1}{2^{2m+2}}\left\{\tan^2 \frac{x}{2^{m+1}}-\frac{\left(1-\tan^2 \frac{x}{2^{m+1}}\right)^2}{\tan^2 \frac{x}{2^{m+1}}}\right\}+\frac{2^{2m+2}-1}{3 \cdot 2^{2m-1}}+4 \cot^2 2x\\
&=\frac{1}{2^{2m+2}}\left(\tan^2 \frac{x}{2^{m+1}}-\frac{1-2 \tan^2 \frac{x}{2^{m+1}}+\tan^4 \frac{x}{2^{m+1}}}{\tan^2 \frac{x}{2^{m+1}}}\right)+\frac{2^{2m+2}-1}{3 \cdot 2^{2m-1}}+4 \cot^2 2x\\
&=\frac{1}{2^{2m+2}}\left(\tan^2 \frac{x}{2^{m+1}}-\frac{1}{\tan^2 \frac{x}{2^{m+1}}}+2 -\tan^2 \frac{x}{2^{m+1}}\right)+\frac{2^{2m+2}-1}{3 \cdot 2^{2m-1}}+4 \cot^2 2x\\
&=\frac{1}{2^{2m+2}}\left(-\frac{1}{\tan^2 \frac{x}{2^{m+1}}}+2\right)+\frac{2^{2m+2}-1}{3 \cdot 2^{2m-1}}+4 \cot^2 2x\\
&=-\frac{1}{2^{2m+2}}\cot^2 \frac{x}{2^{m+1}}+\frac{1}{2^{2m+1}} +\frac{2^{2m+2}-1}{3 \cdot 2^{2m-1}}+4 \cot^2 2x\\
&=\frac{3+4(2^{2m+2}-1)}{3 \cdot 2^{2m+1}}+4 \cot^2 2x-\frac{1}{2^{2m+2}}\cot^2 \frac{x}{2^{m+1}}\\
&=\frac{2^{2m+4}-1}{3 \cdot 2^{2m+1}}+4 \cot^2 2x-\frac{1}{2^{2m+2}}\cot^2 \frac{x}{2^{m+1}}\\
\end{alignat}となって \(n=m+1\) のときも成り立つ。以上より$$\displaystyle\sum_{k=0}^n \frac{1}{2^{2k}}\tan^2 \frac{x}{2^k}=\frac{2^{2n+2}-1}{3 \cdot 2^{2n-1}}+4 \cot^2 2x-\frac{1}{2^{2n}}\cot^2 \frac{x}{2^n}$$


コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です