Σ[k=1,∞]sinkx/kなどの等式

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sin kx}{k}=\frac{π-x}{2}  (0 \lt x \lt 2π)\\
&(2)  \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos kx}{k}=-\log \left(2\sin \frac{x}{2}\right)  (0 \lt x \lt 2π)\\
&(3)  \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}\sin kx}{k}=\frac{x}{2}  (-π \lt x \lt π)\\
&(4)  \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}\cos kx}{k}=\log \left(2\cos \frac{x}{2}\right)  (-π \lt x \lt π)\\
\end{alignat}










<証明>

\((3) \to (1) \to (2) \to (4)\) の順番で証明します。



\((3)\) \(f(x)=x (-π \lt x \lt π)\) をフーリエ級数展開します。$$f(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} b_k \sin kx$$\(b_k\) を求めます。
\begin{alignat}{2}
&b_k=\frac{2}{π}\displaystyle\int_0^π x \sin kxdx\\
&  =\frac{2}{π}\left(\left[-\frac{x}{k}\cos kx\right]_0^π-\frac{1}{k}\displaystyle\int_0^π\cos kxdx\right)\\
&  =\frac{2}{π}\left\{\frac{π(-1)^{k+1}}{k}-\frac{1}{k^2}[\sin kx]_0^π\right\}=\frac{2(-1)^{k+1}}{k}\\
\end{alignat}よって$$f(x)=x=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2(-1)^{k+1}}{k}\sin kx$$以上より$$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}\sin kx}{k}=\frac{x}{2}$$






\((1)\) \((3)\) において \(x\) を \(x-π\) に書き換えます。\((0 \lt x \lt 2π)\)$$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}\sin k(x-π)}{k}=\frac{x-π}{2}$$両辺を \((-1)\) 倍して三角関数の \(kπ\) を外に出します。$$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k\sin (kx-kπ)}{k}=\frac{π-x}{2},  \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sin kx}{k}=\frac{π-x}{2}$$以上より$$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sin kx}{k}=\frac{π-x}{2}  (0 \lt x \lt 2π)$$






次の級数展開を用います。(詳細はこちらです)
\begin{alignat}{2}
&(A) \log(2 \sin x)=-\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{ \cos (2kx)}{k}\\
&(B) \log(2 \cos x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1} \cos (2kx)}{k}\\
\end{alignat}



\((2)\) \((A)\) で \(2x\) を \(x\) に書き換えます。 $$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos kx}{k}=-\log \left(2\sin \frac{x}{2}\right)$$





\((4)\) \((B)\) で \(2x\) を \(x\) に書き換えます。 $$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}\cos kx}{k}=\log \left(2\cos \frac{x}{2}\right)$$

“Σ[k=1,∞]sinkx/kなどの等式” への6件の返信

  1. 大変おもしろい内容で, 楽しく読ませていただきました.
    気になった点があるのですが, Σ[k=1, ∞]coskxは収束せず, Σ[k=1, ∞]sinkxはx=πのときのみ収束すると思います.
    一般に積分演算と部分和の極限の計算順序が違うと必ずしも等しいとは限らず, 当然微分演算でも然りです.

    1. Mathmouthさんへ。
      コメント及びご指摘ありがとうございます。

      仰るとおりだと思います。
      ですので、まもなく(5)~(8)までの等式を削除、もしくは
      別記事において改めさせて頂こうと思います。

      ちなみにですが、参考までに、
      「ディリクレ正規化」と呼ばれる方法で計算を行うと、
      2021/9/17までに残っているこのページの計算結果と一致するようです。(wolfram alphaより)

      今回のご指摘で、当方は背筋が伸びるような思いが致しました。
      改めて感謝申し上げます。ありがとうございました。

      1. ぽじぽめさんへ

        なるほど、それは興味深い事実ですね!「ディリクレ正規化」については知らなかったので教えていただけてよかったです. ありがとうございます.

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