Σ[k=1,n-1]sin(kπ/n)などの級数

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \cos \frac{kπ}{n}=0\\
&(2)  \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \sin \frac{kπ}{n}=\cot \frac{π}{2n}\\
\end{alignat}











<証明>

オイラーの公式を用います。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} e^{\frac{ikπ}{n}}&=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\left(\cos \frac{kπ}{n}+i\sin \frac{kπ}{n}\right)\\
&=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \cos \frac{kπ}{n}+i\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \sin \frac{kπ}{n}\\
\end{alignat}
左辺について、等比数列の和の公式を用います。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} e^{\frac{ikπ}{n}}&=\frac{e^{\frac{iπ}{n}}\{1-e^{\frac{iπ(n-1)}{n}}\}}{1-e^{\frac{iπ}{n}}}=\frac{e^{\frac{iπ}{n}}-e^{iπ}}{1-e^{\frac{iπ}{n}}}\\
&=\frac{\cos \frac{π}{n}+i \sin \frac{π}{n}+1}{1-\cos \frac{π}{n}-i \sin \frac{π}{n}}\\
&=\frac{\left(1+\cos \frac{π}{n}+i \sin \frac{π}{n}\right)\left(1-\cos \frac{π}{n}+i \sin \frac{π}{n}\right)}{\left(1-\cos \frac{π}{n}-i \sin \frac{π}{n}\right)\left(1-\cos \frac{π}{n}+i \sin \frac{π}{n}\right)}\\
&=\frac{\left(1+\cos \frac{π}{n}\right)\left(1-\cos \frac{π}{n}\right)-\sin^2 \frac{π}{n}}{\left(1-\cos \frac{π}{n}\right)^2+ \sin^2 \frac{π}{n}}+i \cdot \frac{\left(1+\cos \frac{π}{n}\right)\sin \frac{π}{n}+\sin \frac{π}{n}\left(1-\cos \frac{π}{n}\right)}{\left(1-\cos \frac{π}{n}\right)^2+ \sin^2 \frac{π}{n}}\\
&=\frac{1- \cos^2 \frac{π}{n}-\sin^2 \frac{π}{n}}{2\left(1-\cos \frac{π}{n}\right)}+i \cdot \frac{\sin \frac{π}{n}\left(1+\cos \frac{π}{n}+1-\cos \frac{π}{n}\right)}{2\left(1-\cos \frac{π}{n}\right)}\\
&=\frac{1-1}{4 \sin^2 \frac{π}{2n}}+i \cdot \frac{2 \sin \frac{π}{n}}{4 \sin^2 \frac{π}{2n}}\\
&=0+i \cdot \frac{4 \sin \frac{π}{2n}\cos \frac{π}{2n}}{4 \sin^2 \frac{π}{2n}}=i \cot \frac{π}{2n}
\end{alignat}実部と虚部を比較します。以上より$$\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \cos \frac{kπ}{n}=0,  \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \sin \frac{kπ}{n}=\cot \frac{π}{2n}$$

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