Σ[k=1,n]k^3などの級数

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\sum_{k=1}^n k=\frac{1}{2}n(n+1)\\
&(2)  \displaystyle\sum_{k=1}^n k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\\
&(3)  \displaystyle\sum_{k=1}^n k^3=\frac{1}{4}n^2(n+1)^2\\
&(4)  \displaystyle\sum_{k=1}^n k^4=\frac{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)\\
\end{alignat}









<証明>

\((1)\) 求める級数は$$\displaystyle\sum_{k=1}^n k=1+2+3+ \cdots +(n-1)+n$$であり、この両辺を \(2\) 倍します。
\begin{alignat}
2\displaystyle\sum_{k=1}^n k&=\{1+2+3+ \cdots +(n-1)+n\}\\
&         +\{n+(n-1)+(n-2)+ \cdots +2+1 \}\\
\end{alignat}
右辺の \(2\) つの中括弧内をそれぞれ

左から \(1\) 番目同士、左から \(2\) 番目同士…左から \(n\) 番目同士を全て足すと

どれも \(n+1\) であり、これが \(n\) 組あるので$$2 \displaystyle\sum_{k=1}^n k =n(n+1)$$以上より$$\displaystyle\sum_{k=1}^n k=\frac{1}{2}n(n+1)$$







\((2)\) 次の式を用います。
\begin{alignat}{2}
(k+1)^3-k^3&=(k^3+3k^2+3k+1)-k^3\\
&=3k^2+3k+1\\
\end{alignat}この式の両辺について \(k=1\) から \(n\) まで和を取ります。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\sum_{k=1}^n \{(k+1)^3-k^3\}&=\displaystyle\sum_{k=1}^n (3k^2+3k+1)\\
(n+1)^3-1&=3\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2+3\displaystyle\sum_{k=1}^n k+\displaystyle\sum_{k=1}^n 1\\
(n+1)^3-1&=3\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2+3\cdot \frac{1}{2}n(n+1)+n\\
\end{alignat}移行して式を整理します。
\begin{alignat}{2}
3 \displaystyle\sum_{k=1}^n k^2&=n^3+3n^2+3n-\frac{3}{2}n(n+1)-n\\
&=n^3+3n^2+3n-\frac{3}{2}n^2-\frac{3}{2}n-n\\
&=n^3+\frac{3}{2}n^2+\frac{1}{2}n=\frac{1}{2}n(2n^2+3n+1)=\frac{1}{2}n(n+1)(2n+1)\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$$







\((3)\) 次の式を用います。
\begin{alignat}{2}
(k+1)^4-k^4&=(k^4+4k^3+6k^2+4k+1)-k^4\\
&=4k^3+6k^2+4k+1\\
\end{alignat}この式の両辺について \(k=1\) から \(n\) まで和を取ります。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\sum_{k=1}^n \{(k+1)^4-k^4\}&=\displaystyle\sum_{k=1}^n (4k^3+6k^2+4k+1)\\
(n+1)^4-1&=4\displaystyle\sum_{k=1}^n k^3+6\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2+4\displaystyle\sum_{k=1}^n k+\displaystyle\sum_{k=1}^n 1\\
(n+1)^4-1&=4\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2+6 \cdot \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+4 \cdot \frac{1}{2}n(n+1)+n\\
\end{alignat}移行して式を整理します。
\begin{alignat}{2}
4 \displaystyle\sum_{k=1}^n k^3&=n^4+4n^3+6n^2+4n-n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)-n\\
&=n^4+4n^3+6n^2+4n-n(2n^2+3n+1)-2n^2-2n-n\\
&\\
&=n^4+4n^3+6n^2+4n-2n^3-3n^2-n-2n^2-2n-n\\
&\\
&=n^4+2n^3+n^2=n^2(n^2+2n+1)=n^2(n+1)^2\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\sum_{k=1}^n k^3=\frac{1}{4}n^2(n+1)^2$$







\((4)\) 次の式を用います。
\begin{alignat}{2}
(k+1)^5-k^5&=(k^5+5k^4+10k^3+10k^2+5k+1)-k^5\\
&=5k^4+10k^3+10k^2+5k+1\\
\end{alignat}この式の両辺について \(k=1\) から \(n\) まで和を取ります。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\sum_{k=1}^n \{(k+1)^5-k^5\}&=\displaystyle\sum_{k=1}^n (5k^4+10k^3+10k^2+5k+1)\\
(n+1)^5-1&=5\displaystyle\sum_{k=1}^n k^4+10\displaystyle\sum_{k=1}^n k^3+10\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2+5\displaystyle\sum_{k=1}^n k+\displaystyle\sum_{k=1}^n 1\\
(n+1)^5-1&=5\displaystyle\sum_{k=1}^n k^4+10 \cdot \frac{1}{4}n^2(n+1)^2+10\cdot \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+5 \cdot \frac{1}{2}n(n+1)+n\\
\end{alignat}移行して式を整理します。
\begin{alignat}{2}
5 \displaystyle\sum_{k=1}^n k^4&=n^5+5n^4+10n^3+10n^2+5n-\frac{5}{2}n^2(n+1)^2-\frac{5}{3}n(n+1)(2n+1)-\frac{5}{2}n(n+1)-n\\
&=n^5+5n^4+10n^3+10n^2+5n-\frac{5}{2}n^2(n^2+2n+1)-\frac{5}{3}n(2n^2+3n+1)-\frac{5}{2}n^2-\frac{5}{2}n-n\\
&=n^5+5n^4+10n^3+10n^2+5n-\frac{5}{2}n^4-5n^3-\frac{5}{2}n^2-\frac{10}{3}n^3-5n^2-\frac{5}{3}n-\frac{5}{2}n^2-\frac{5}{2}n-n\\
&=n^5+\frac{5}{2}n^4+\frac{5}{3}n^3-\frac{1}{6}n\\
&=\frac{1}{6}n(6n^4+15n^3+10n^2-1)\\
&=\frac{1}{6}n(n+1)(6n^3+9n^2+n-1)\\
&=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\sum_{k=1}^n k^4=\frac{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)$$

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