Σ[k=1,n]k^6などの級数

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\sum_{k=1}^n k^5 =\frac{1}{12}n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)\\
&(2)  \displaystyle\sum_{k=1}^n k^6=\frac{1}{42}n(n+1)(2n+1)(3n^4+6n^3-3n+1)\\
&(3)  \displaystyle\sum_{k=1}^n k^7=\frac{1}{24}n^2(n+1)^2(3n^4+6n^3-n^2-4n+2)
\end{alignat}














<証明>

次の等式を用います。(詳細はこちらです)
\begin{alignat}{2}
&(A)  \displaystyle\sum_{k=1}^n k=\frac{1}{2}n(n+1)\\
&(B)  \displaystyle\sum_{k=1}^n k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\\
&(C)  \displaystyle\sum_{k=1}^n k^3=\frac{1}{4}n^2(n+1)^2\\
&(D)  \displaystyle\sum_{k=1}^n k^4=\frac{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)\\
\end{alignat}




\((1)\) 次の式を用います。
\begin{alignat}{2}
(k+1)^6-k^6&=(k^6+6k^5+15k^4+20k^3+15k^2+6k+1)-k^6\\
&=6k^5+15k^4+20k^3+15k^2+6k+1\\
\end{alignat}この式の両辺について \(k=1\) から \(n\) まで和を取ります。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\sum_{k=1}^n \{(k+1)^6-k^6\}&=\displaystyle\sum_{k=1}^n (6k^5+15k^4+20k^3+15k^2+6k+1)\\
(n+1)^6-1&=6\displaystyle\sum_{k=1}^n k^5+15\displaystyle\sum_{k=1}^n k^4+20\displaystyle\sum_{k=1}^n k^3+15\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2+6 \displaystyle\sum_{k=1}^nk+\displaystyle\sum_{k=1}^n 1\\
(n+1)^6-1&=6\displaystyle\sum_{k=1}^n k^5+15 \cdot \frac{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)+20 \cdot \frac{1}{4}n^2(n+1)^2+15 \cdot \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+6 \cdot \frac{1}{2}n(n+1)+n\\
\end{alignat}移行して式を整理します。
\begin{alignat}{2}
6 \displaystyle\sum_{k=1}^n k^6&=n^6+6n^5+15n^4+20n^3+15n^2+6n-\frac{1}{2}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)-5n^2(n+1)^2-\frac{5}{2}n(n+1)(2n+1)-3n(n+1)-n\\
&=n^6+6n^5+15n^4+20n^3+15n^2+6n-3n^5-\frac{15}{2}n^4-5n^3+\frac{1}{2}n-5n^4-10n^3-5n^2-5n^3-\frac{15}{2}n^2-\frac{5}{2}n-3n^2-3n-n\\
&=n^6+3n^5+\frac{5}{2}n^4-\frac{1}{2}n^2\\
&=\frac{1}{2}n^2(2n^4+6n^3+5n^2-1)\\
&=\frac{1}{2}n^2(n+1)(2n^3+4n^2+n-1)\\
&=\frac{1}{2}n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\sum_{k=1}^n k^5 =\frac{1}{12}n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)$$






\((2)\) 次の式を用います。
\begin{alignat}{2}
(k+1)^7-k^7&=(k^7+7k^6+21k^5+35k^4+35k^3+21k^2+7k+1)-k^7\\
&=7k^6+21k^5+35k^4+35k^3+21k^2+7k+1\\
\end{alignat}この式の両辺について \(k=1\) から \(n\) まで和を取ります。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\sum_{k=1}^n \{(k+1)^7-k^7\}&=\displaystyle\sum_{k=1}^n (7k^6+21k^5+35k^4+35k^3+21k^2+7k+1)\\
(n+1)^7-1&=7\displaystyle\sum_{k=1}^n k^6+21\displaystyle\sum_{k=1}^n k^5+35\displaystyle\sum_{k=1}^n k^4+35\displaystyle\sum_{k=1}^n k^3+21 \displaystyle\sum_{k=1}^n k^2+7\displaystyle\sum_{k=1}^n k+\displaystyle\sum_{k=1}^n 1\\
(n+1)^7-1&=7\displaystyle\sum_{k=1}^n k^6+21 \cdot \frac{1}{12}n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)+35 \cdot \frac{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)+35 \cdot \frac{1}{4}n^2(n+1)^2+21 \cdot \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+7 \cdot \frac{1}{2}n(n+1)+n\\
\end{alignat}移行して式を整理します。
\begin{alignat}{2}
7 \displaystyle\sum_{k=1}^n k^7&=n^7+7n^6+21n^5+35n^4+35n^3+21n^2+7n- \frac{7}{4}n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)- \frac{7}{6}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)-\frac{35}{4}n^2(n+1)^2- \frac{7}{2}n(n+1)(2n+1)-\frac{7}{2}n(n+1)-n\\
&=n^7+7n^6+21n^5+35n^4+35n^3+21n^2+7n-\frac{7}{2}n^6-\frac{21}{2}n^5-\frac{35}{4}n^4+\frac{7}{4}n^2-7n^5-\frac{35}{2}n^4-\frac{35}{3}n^3+\frac{7}{6}n-\frac{35}{4}n^4-\frac{35}{2}n^3-\frac{35}{4}n^2-7n^3-\frac{21}{2}n^2-\frac{7}{2}n-\frac{7}{2}n^2-\frac{7}{2}n-n\\
&=n^7+\frac{7}{2}n^6+\frac{7}{2}n^5-\frac{7}{6}n^3+\frac{1}{6}n\\
&=\frac{1}{6}n(6n^6+21n^5+21n^4-7n^2+1)\\
&=\frac{1}{6}n(n+1)(6n^5+15n^4+6n^3-6n^2-n+1)\\
&=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)(3n^4+6n^3-3n+1)\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\sum_{k=1}^n k^6=\frac{1}{42}n(n+1)(2n+1)(3n^4+6n^3-3n+1)$$







\((3)\) 次の式を用います。
\begin{alignat}{2}
(k+1)^8-k^8&=(k^8+8k^7+28k^6+56k^5+70k^4+56k^3+28k^2+8k+1)-k^8\\
&=8k^7+28k^6+56k^5+70k^4+56k^3+28k^2+8k+1\\
\end{alignat}この式の両辺について \(k=1\) から \(n\) まで和を取ります。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\sum_{k=1}^n \{(k+1)^8-k^8\}&=\displaystyle\sum_{k=1}^n (8k^7+28k^6+56k^5+70k^4+56k^3+28k^2+8k+1))\\
(n+1)^8-1&=8\displaystyle\sum_{k=1}^n k^7+28\displaystyle\sum_{k=1}^n k^6+56\displaystyle\sum_{k=1}^n k^5+70\displaystyle\sum_{k=1}^n k^4+56 \displaystyle\sum_{k=1}^n k^3+28\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2+8\displaystyle\sum_{k=1}^n k+\displaystyle\sum_{k=1}^n 1\\
(n+1)^8-1&=8\displaystyle\sum_{k=1}^n k^7+28 \cdot \frac{1}{42}n(n+1)(2n+1)(3n^4+6n^3-3n+1)+ 56 \cdot \frac{1}{12}n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)+70 \cdot \frac{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)+56 \cdot \frac{1}{4}n^2(n+1)^2+28 \cdot \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+8 \cdot \frac{1}{2}n(n+1)+n\\
\end{alignat}移行して式を整理します。
\begin{alignat}{2}
8 \displaystyle\sum_{k=1}^n k^8&=n^8+8n^7+28n^6+56n^5+70n^4+56n^3+28n^2+8n-\frac{2}{3}n(n+1)(2n+1)(3n^4+6n^3-3n+1)-\frac{14}{3}n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)-\frac{7}{3}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)-16n^2(n+1)^2-\frac{14}{3}n(n+1)(2n+1)-4n(n+1)-n\\
&=n^8+8n^7+28n^6+56n^5+70n^4+56n^3+28n^2+8n-4n^7-14n^6-14n^5+\frac{14}{3}n^3-\frac{2}{3}n-\frac{28}{3}n^6-28n^5-\frac{70}{3}n^4+\frac{14}{3}n^2-14n^5-35n^4-\frac{70}{3}n^3+\frac{7}{3}n-14n^4-28n^3-14n^2-\frac{28}{3}n^3-14n^2-\frac{14}{3}n-4n^2-4n-n\\
&=n^8+4n^7+\frac{14}{3}n^6-\frac{7}{3}n^4+\frac{2}{3}n^2\\
&=\frac{1}{3}n^2(3n^6+12n^5+14n^4-7n^2+2)\\
&=\frac{1}{3}n^2(n+1)(3n^5+9n^4+5n^3-5n^2-2n+2)\\
&=\frac{1}{3}n^2(n+1)^2(3n^4+6n^3-n^2-4n+2)\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\sum_{k=1}^n k^7=\frac{1}{24}n^2(n+1)^2(3n^4+6n^3-n^2-4n+2)$$

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