Σ[n=0,∞]1/(3n+1)^3などの級数

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(3n+1)^3}=\frac{117ζ(3)+2\sqrt{3}π^3}{243}\\
&(2)  \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(3n+2)^3}=\frac{117ζ(3)-2\sqrt{3}π^3}{243}\\
\end{alignat}













<証明>

\((1)(2)\) 求める級数をそれぞれ \(A,B\) と置きます。$$A=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(3n+1)^3},  B=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(3n+2)^3}$$

\(ζ(3)\) の式を次のように分解します。
\begin{alignat}{2}
ζ(3)&=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}=1+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+\frac{1}{5^3}+\frac{1}{6^3}+\frac{1}{7^3}+\frac{1}{8^3}+\frac{1}{9^3}+\frac{1}{10^3}+\frac{1}{11^3}+\frac{1}{12^3}+ \cdots \\
&=\left(1+\frac{1}{4^3}+\frac{1}{7^3}+\frac{1}{10^3}+\cdots \right)+\left(\frac{1}{2^3}+\frac{1}{5^3}+\frac{1}{8^3}+\frac{1}{11^3}+\cdots \right)+\left(\frac{1}{3^3}+\frac{1}{6^3}+\frac{1}{9^3}+\frac{1}{12^3}+\cdots \right)\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(3n+1)^3}+\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(3n+2)^3}+\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(3n+3)^3}\\
&=A+B+\frac{1}{27}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^3}=A+B+\frac{1}{27}ζ(3)
\end{alignat}よって$$A+B=\frac{26}{27}ζ(3)  \cdots (α)$$

ところで、次のディガンマ関数の公式において(詳細はこちらです)$$ψ^{(k)}(z)=(-1)^{k+1}k!\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(z+n)^{k+1}}$$\(k=2\) で \(\displaystyle z=\frac{1}{3},\,\frac{2}{3}\) とします。
\begin{alignat}{2}
ψ’’\left(\frac{1}{3}\right)&=-2 \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\left(\frac{1}{3}+n\right)^3}=-54\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(3n+1)^3}=-54A\\
ψ’’\left(\frac{2}{3}\right)&=-2 \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\left(\frac{2}{3}+n\right)^3}=-54\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(3n+2)^3}=-54B\\
\end{alignat}
さらに次のディガンマ関数の公式を用います。(詳細はこちらです)$$ψ’’(1-z)-ψ’’(z)=2π^3 \cdot \frac{\cos πz}{\sin^3 πz}$$上記の式で \(\displaystyle z=\frac{1}{3}\) とします。$$ψ’’\left(\frac{2}{3}\right)-ψ’’\left(\frac{1}{3}\right)=2π^3 \cdot \frac{\cos \frac{π}{3}}{\sin^3 \frac{π}{3}}=2π^3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)=2π^3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3\sqrt{3}}=\frac{8\sqrt{3}π^3}{9}$$この式に \(\displaystyle ψ’’\left(\frac{1}{3}\right)=-54A\) と \(\displaystyle ψ’’\left(\frac{2}{3}\right)=-54B\) を代入します。$$-54B+54A=\frac{8\sqrt{3}π^3}{9},  A-B=\frac{4\sqrt{3}π^3}{243}  \cdots (β)$$
よって、次式を得ます。
\begin{cases}
\displaystyle A+B=\frac{26}{27}ζ(3)  \cdots (α)\\
\displaystyle A-B=\frac{4\sqrt{3}π^3}{243}  \cdots (β)\\
\end{cases}\(\displaystyle \frac{(α)+(β)}{2},\,\frac{(α)-(β)}{2}\) を計算することで$$A=\frac{117ζ(3)+2\sqrt{3}π^3}{243},  B=\frac{117ζ(3)-2\sqrt{3}π^3}{243}$$となります。以上より
\begin{cases}
\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(3n+1)^3}=\frac{117ζ(3)+2\sqrt{3}π^3}{243}\\
\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(3n+2)^3}=\frac{117ζ(3)-2\sqrt{3}π^3}{243}\\
\end{cases}

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