Σ[n=0,∞]1/(6n+1)^3などの級数

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(6n+1)^3}=\frac{91ζ(3)+2\sqrt{3}π^3}{216}\\
&(2)  \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(6n+5)^3}=\frac{91ζ(3)-2\sqrt{3}π^3}{216}\\
\end{alignat}










<証明>

次の級数を用います。(詳細はこちらです)
\begin{alignat}{2}
&(A)  \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(3n+1)^3}=\frac{117ζ(3)+2\sqrt{3}π^3}{243}\\
&(B)  \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(3n+2)^3}=\frac{117ζ(3)-2\sqrt{3}π^3}{243}\\
\end{alignat}




\((1)(2)\) 求める級数をそれぞれ \(A,B\) と置きます。$$A=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(6n+1)^3},  B=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(6n+5)^3}$$

\(ζ(3)\) の式を次のように分解します。
\begin{alignat}{2}
ζ(3)&=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}=1+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+\frac{1}{5^3}+\frac{1}{6^3}+\frac{1}{7^3}+\frac{1}{8^3}+\frac{1}{9^3}+\frac{1}{10^3}+\frac{1}{11^3}+\frac{1}{12^3}+ \cdots \\
&=\left(1+\frac{1}{7^3}+\frac{1}{13^3}+\frac{1}{19^3}+\cdots \right)+\left(\frac{1}{2^3}+\frac{1}{8^3}+\frac{1}{14^3}+\frac{1}{20^3}+\cdots \right)+\left(\frac{1}{3^3}+\frac{1}{9^3}+\frac{1}{15^3}+\frac{1}{21^3}+\cdots \right)\\
&      +\left(\frac{1}{4^3}+\frac{1}{10^3}+\frac{1}{16^3}+\frac{1}{22^3}+\cdots \right)+\left(\frac{1}{5^3}+\frac{1}{11^3}+\frac{1}{17^3}+\frac{1}{23^3}+\cdots \right)+\left(\frac{1}{6^3}+\frac{1}{12^3}+\frac{1}{18^3}+\frac{1}{24^3}+\cdots \right)\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(6n+1)^3}+\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(6n+2)^3}+\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(6n+3)^3}+\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(6n+4)^3}+\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(6n+5)^3}+\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(6n+6)^3}\\
&=A+\frac{1}{8}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(3n+1)^3}+\frac{1}{27}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(3n+1)^3}+\frac{1}{8}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(3n+2)^3}+B+\frac{1}{216}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^3}\\
&=A+\frac{1}{8}\left\{\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(3n+1)^3}+\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(3n+1)^2}\right\}+\frac{1}{27} \cdot \frac{1}{8}ζ(3)+B+\frac{1}{216}ζ(3)\\
&=A+B+\frac{1}{8} \cdot 2 \cdot \frac{117}{243}ζ(3)+\frac{7}{216}ζ(3)+\frac{1}{216}ζ(3)\\
&=A+B+\frac{1}{4} \cdot \frac{117}{243}ζ(3)+\frac{1}{27}ζ(3)\\
&=A+B+\frac{1}{4 \cdot 243}(117+36)ζ(3)\\
&=A+B+\frac{153}{4 \cdot 243}ζ(3)=A+B+\frac{17}{108}ζ(3)
\end{alignat}よって$$A+B=\frac{91}{108}ζ(3)  \cdots (α)$$

ところで、次のディガンマ関数の公式において(詳細はこちらです)$$ψ^{(k)}(z)=(-1)^{k+1}k!\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(z+n)^{k+1}}$$\(k=2\) で \(\displaystyle z=\frac{1}{6},\,\frac{5}{6}\) とします。
\begin{alignat}{2}
ψ’’\left(\frac{1}{6}\right)&=-2 \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\left(\frac{1}{6}+n\right)^3}=-432\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(6n+1)^3}=-432A\\
ψ’’\left(\frac{5}{6}\right)&=-2 \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\left(\frac{5}{6}+n\right)^3}=-432\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(6n+5)^3}=-432B\\
\end{alignat}
さらに次のディガンマ関数の公式を用います。(詳細はこちらです)$$ψ’’(1-z)-ψ’’(z)=2π^3 \cdot \frac{\cos πz}{\sin^3 πz}$$上記の式で \(\displaystyle z=\frac{1}{6}\) とします。$$ψ’’\left(\frac{5}{6}\right)-ψ’’\left(\frac{1}{6}\right)=2π^3 \cdot \frac{\cos \frac{π}{6}}{\sin^3 \frac{π}{6}}=2π^3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 8=8\sqrt{3}π^3$$この式に \(\displaystyle ψ’’\left(\frac{1}{6}\right)=-432A\) と \(\displaystyle ψ’’\left(\frac{5}{6}\right)=-432B\) を代入します。$$-432B+432A=8\sqrt{3}π^3,  A-B=\frac{\sqrt{3}π^3}{54}  \cdots (β)$$
よって、次式を得ます。
\begin{cases}
\displaystyle A+B=\frac{91}{108}ζ(3)  \cdots (α)\\
\displaystyle A-B=\frac{\sqrt{3}π^3}{54}  \cdots (β)\\
\end{cases}\(\displaystyle \frac{(α)+(β)}{2},\,\frac{(α)-(β)}{2}\) を計算することで$$A=\frac{91ζ(3)+2\sqrt{3}π^3}{216},  B=\frac{91ζ(3)-2\sqrt{3}π^3}{216}$$となります。以上より
\begin{cases}
\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(6n+1)^3}=\frac{91ζ(3)+2\sqrt{3}π^3}{216}\\
\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(6n+5)^3}=\frac{91ζ(3)-2\sqrt{3}π^3}{216}\\
\end{cases}

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