Σ[n=1,∞]1/(2n)(2n+1)(2n+2)などの級数

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)(2n)(2n+1)}=\log 2 -\frac{1}{2}\\
&(2)  \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)(2n+1)(2n+2)}=\frac{3}{4}-\log 2\\
&(3)  \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)(2n)(2n+1)}=\frac{1}{2}(1 -\log 2)\\
&(4)  \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{(2n)(2n+1)(2n+2)}=\frac{π-3}{4}\\
\end{alignat}








<証明>

\((1)\) 次の等式を用います。(詳細はこちらです)$$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(4n^2-1)}=2 \log 2-1$$この式の両辺を \(2\) で割れば、直ちに$$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)(2n)(2n+1)}=\log 2 -\frac{1}{2}$$






\((2)(3)(4)\) は全て部分分数分解を行います。

\begin{alignat}{2}
&(2)  \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)(2n)(2n+1)}\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left\{\frac{1}{(2n-1)2n}-\frac{1}{2n(2n+1)}\right\}\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}\right)-\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n+1}\right)\\
&=\frac{1}{2}(1- \log 2)-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}+\log 2\right)\\
&=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\log 2+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\log 2=\frac{3}{4}-\log 2\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)(2n+1)(2n+2)}=\frac{3}{4}-\log 2$$







\begin{alignat}{2}
&(3)  \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)(2n)(2n+1)}\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}\left\{\frac{1}{(2n-1)2n}-\frac{1}{2n(2n+1)}\right\}\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \left\{\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}\right)-\left(\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n+1}\right)\right\}\\
&=\frac{1}{2}\left(1-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+ \cdots \right)=\frac{1}{2}(1- \log 2)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)(2n)(2n+1)}=\frac{1}{2}(1 -\log 2)$$







\begin{alignat}{2}
&(4)  \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{(2n)(2n+1)(2n+2)}\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}\left\{\frac{1}{(2n)(2n+1)}-\frac{1}{(2n+1)(2n+2)}\right\}\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \left\{\left(\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n+1}\right)-\left(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}\right)\right\}\\
&=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{2}{3}+\frac{2}{5}-\frac{2}{7}+\frac{2}{9}- \cdots \right)\\
&=\frac{1}{4}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}- \cdots \\
&=\frac{1}{4}-1+\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}- \cdots\right)=-\frac{3}{4}+\frac{π}{4}=\frac{π-3}{4}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{(2n)(2n+1)(2n+2)}=\frac{π-3}{4}$$

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