Σ[n=1,∞]1/n(4n^2-1)^2などの級数

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(4n^2-1)}=2 \log 2-1\\
&(2)  \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n(4n^2-1)}=\frac{1}{8}\\
&(3)  \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(4n^2-1)^2}=\frac{3}{2}-2 \log 2\\
&(4)  \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{12n^2-1}{n(4n^2-1)^2}=2 \log 2\\
\end{alignat}








<証明>

次の級数の結果を用います。(詳細はこちらです)
\begin{alignat}{2}
&(A)  \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(2n-1)^2}=\frac{π^2}{4}-2 \log 2\\
&(B)  \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(2n+1)^2}=4-\frac{π^2}{4}-2 \log 2\\
\end{alignat}


\((1)\) 部分分数分解を行います。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(4n^2-1)}&=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(2n-1)(2n+1)}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)\\
&=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left\{\frac{1}{2n(2n-1)}-\frac{1}{2n(2n+1)}\right\}\\
&=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}\right)-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n+1}\right)\\
&=\log 2-(1-\log 2)= 2\log 2 -1\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(4n^2-1)}=2 \log 2-1$$






\((2)\) 分子に \(8\) を掛けて、分母と同じ項を作り、分数を切り離します。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n(4n^2-1)}&=\frac{1}{8}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{8n}{(2n-1)^2(2n+1)^2}\\
&=\frac{1}{8}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n+1)^2-(2n-1)^2}{(2n-1)^2(2n+1)^2}\\
&=\frac{1}{8}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left\{\frac{1}{(2n-1)^2}-\frac{1}{(2n+1)^2}\right\}\\
&=\frac{1}{8}\left\{\left(1-\frac{1}{3^2}\right)+\left(\frac{1}{3^2}-\frac{1}{5^2}\right)+\left(\frac{1}{5^2}-\frac{1}{7^2}\right)+ \cdots \right\}=\frac{1}{8}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n(4n^2-1)}=\frac{1}{8}$$






\((3)\) 部分分数分解を行い、\((1)(A)(B)\) を代入します。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n(4n^2-1)^2}&=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(2n-1)^2(2n+1)^2}\\
&=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\left\{\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}\right\}^2\\
&=\frac{1}{4}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)^2\\
&=\frac{1}{4}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\left\{\frac{1}{(2n-1)^2}-\frac{2}{(2n-1)(2n+1)}+\frac{1}{(2n+1)^2}\right\}\\
&=\frac{1}{4}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(2n-1)^2}-\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(4n^2-1)}+\frac{1}{4}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(2n+1)^2}\\
&=\frac{1}{4}\left(\frac{π^2}{4}-2 \log 2\right)-\frac{1}{2}(2 \log 2-1)+\frac{1}{4}\left(4-\frac{π^2}{4}-2 \log 2\right)\\
&=\frac{π^2}{16}-\frac{1}{2}\log 2 -\log 2+\frac{1}{2}+1 -\frac{π^2}{16}-\frac{1}{2}\log 2=\frac{3}{2}-2 \log 2\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(4n^2-1)^2}=\frac{3}{2}-2 \log 2$$






\((4)\) 分子に分母と同じ項を作り、分数を切り離し \((1)(3)\) の結果を代入します。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{12n^2-1}{n(4n^2-1)^2}&=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3(4n^2-1)+2}{n(4n^2-1)^2}\\
&=3 \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(4n^2-1)}+2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(4n^2-1)^2}\\
&=3(2 \log 2-1)+2 \left( \frac{3}{2}- 2 \log 2\right)\\
&=6 \log 2-3 +3 -4 \log 2=2 \log 2\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{12n^2-1}{n(4n^2-1)^2}=2 \log 2$$

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