sin^{-1}xlogx[0,1]の定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^1 \sin^{-1} x \log xdx=2- \log 2-\frac{π}{2}\\
&(2) \displaystyle\int_0^1 \cos^{-1} x \log xdx=\log 2-2\\
\end{alignat}










<証明>

\((1)\) まずは不定積分を求めます。部分積分を行います。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int \sin^{-1} x \log xdx\\
&=(x \sin^{-1} x+\sqrt{1-x^2}) \log x-\displaystyle\int \left( \sin^{-1} x+\sqrt{\frac{1-x^2}{x^2}}\right)dx\\
&=(x \sin^{-1} x+\sqrt{1-x^2}) \log x-\displaystyle\int \sin^{-1} xdx-\displaystyle\int \sqrt{\frac{1-x^2}{x^2}}dx\\
&=(x \sin^{-1} x+\sqrt{1-x^2}) \log x-x \sin^{-1} x-\sqrt{1-x^2}-\displaystyle\int \sqrt{\frac{1-x^2}{x^2}}dx\\
\end{alignat}一番右の積分を計算します。
\(x=\sin t\) と置きます。(\(dx= \cos tdt\))
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int \sqrt{\frac{1-x^2}{x^2}}dx=\displaystyle\int \frac{ \cos t}{ \sin t}\cdot \cos tdt\\
&=\displaystyle\int \frac{1- \sin^2 t}{ \sin t}dt=\displaystyle\int \frac{1}{ \sin t}dt-\displaystyle\int \sin tdt\\
&=\frac{1}{2}\log \left|\frac{ \cos t-1}{ \cos t+1}\right|+ \cos t\\
&=\frac{1}{2} \log \left|\frac{\sqrt{1-x^2}-1}{\sqrt{1-x^2}+1}\right|+\sqrt{1-x^2}
\end{alignat}よって元の不定積分は
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int \sin^{-1} x \log xdx\\
&=(x \sin^{-1} x+\sqrt{1-x^2}) \log x-x \sin^{-1} x-\sqrt{1-x^2}\\
&            -\frac{1}{2} \log \left|\frac{\sqrt{1-x^2}-1}{\sqrt{1-x^2}+1}\right|-\sqrt{1-x^2}\\
&=(x \sin^{-1} x+\sqrt{1-x^2}) \log x-x \sin^{-1} x-2\sqrt{1-x^2}-\frac{1}{2} \log \left|\frac{\sqrt{1-x^2}-1}{\sqrt{1-x^2}+1}\right|\\
\end{alignat}次に定積分を計算します。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^1 \sin^{-1} x \log xdx\\
&=\left[(x \sin^{-1} x+\sqrt{1-x^2}) \log x-x \sin^{-1} x-2\sqrt{1-x^2}-\frac{1}{2} \log \left|\frac{\sqrt{1-x^2}-1}{\sqrt{1-x^2}+1}\right|\right]_0^1\\
&=-\sin^{-1} 1+2+\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\sqrt{1-x^2} \log x-\frac{1}{2}log\left|\frac{\sqrt{1-x^2}-1}{\sqrt{1-x^2}+1}\right|\right)\\
&=-\frac{π}{2}+2+\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\sqrt{1-x^2} \log x+\frac{1}{2}\log \left|\frac{\sqrt{1-x^2}+1}{\sqrt{1-x^2}-1}\right|\right)\\
&=-\frac{π}{2}+2+\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\sqrt{1-x^2} \log x+\frac{1}{2} \log \left|\frac{(1+\sqrt{1-x^2})^2}{x^2}\right|\right)\\
&=-\frac{π}{2}+2+\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\sqrt{1-x^2} \log x+ \log \left|\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right|\right)\\
&=-\frac{π}{2}+2+\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\sqrt{1-x^2}\log x+ \log |1+\sqrt{1-x^2}|- \log |x|\right)\\
&=-\frac{π}{2}+2+\displaystyle\lim_{x \to 0}\left((\sqrt{1-x^2}-1) \log x+ \log |1+\sqrt{1-x^2}|\right)\\
&=2- \log 2-\frac{π}{2}
\end{alignat}



\((2)\) \((1)\) の式を加えて引きます。
\begin{alignat}{2}
& \displaystyle\int_0^1 \cos^{-1} x \log xdx\\
&=\displaystyle\int_0^1 \cos^{-1} x \log xdx+\displaystyle\int_0^1 \sin^{-1} x \log xdx-2+ \log 2+\frac{π}{2}\\
&=\displaystyle\int_0^1 ( \sin^{-1} x+ \cos^{-1} x) \log xdx-2+\log 2+\frac{π}{2}\\
&=\frac{π}{2}\displaystyle\int_0^1 \log xdx-2+ \log 2+\frac{π}{2}\\
&=\frac{π}{2}[x \log x-x]_0^1-2+ \log 2+\frac{π}{2}\\
&=-\frac{π}{2}-2+ \log 2+\frac{π}{2}=\log 2-2
\end{alignat}









(別解)

次の定積分の結果を用います。(詳細はこちらです。)$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin x \log (\sin x)dx=\log 2 -1$$

また、予め次の定積分を計算しておきます。

どちらも \(\sin x=t\) と置きます。\((\cos xdx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
(A)  \displaystyle\int_0^1 \frac{x \log x}{\sqrt{1-x^2}}dx&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\sin t \log (\sin t)}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \cos tdt\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\sin t \log (\sin t)dt=\log 2-1\\
\end{alignat}


\begin{alignat}{2}
(B)  \displaystyle\int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\sin t}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \cos tdt\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin tdt=[-\cos t]_0^\frac{π}{2}=1\\
\end{alignat}



どちらも部分積分を行い \((A)(B)\) の結果を代入します。
\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^1 \sin^{-1}x \log xdx\\
&=[\sin^{-1} x (x\log x-x)]_0^1 -\displaystyle\int_0^1 \frac{x \log x-x}{\sqrt{1-x^2}}dx\\
&=-\frac{π}{2} -\displaystyle\int_0^1 \frac{x \log x}{\sqrt{1-x^2}}dx+\displaystyle\int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx\\
&=-\frac{π}{2}-(\log 2-1)+1=2- \log 2-\frac{π}{2}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \sin^{-1}x \log xdx=2- \log 2-\frac{π}{2}$$




\begin{alignat}{2}
&(2)  \displaystyle\int_0^1 \cos^{-1}x \log xdx\\
&=[\cos^{-1} x (x\log x-x)]_0^1 +\displaystyle\int_0^1 \frac{x \log x-x}{\sqrt{1-x^2}}dx\\
&=\displaystyle\int_0^1 \frac{x \log x}{\sqrt{1-x^2}}dx-\displaystyle\int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx\\
&=(\log 2-1)-1=\log 2-2\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \cos^{-1}x \log xdx=\log 2-2$$

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