sin10°sin30°sin50°sin70°などの計算

\begin{alignat}{2}
&(1)  \sin 20^\circ \sin 40^\circ\sin 60^\circ\sin 80^\circ =\frac{3}{16}\\
&(2)  \cos 20^\circ \cos 40^\circ\cos 60^\circ\cos 80^\circ =\frac{1}{16}\\
&(3)  \tan 20^\circ \tan 40^\circ\tan 60^\circ\tan 80^\circ =3\\
&(4)  \sin 10^\circ \sin 30^\circ\sin 50^\circ\sin 70^\circ =\frac{1}{16}\\
&(5)  \cos 10^\circ \cos 30^\circ\cos 50^\circ\cos 70^\circ =\frac{3}{16}\\
&(6)  \tan 10^\circ \tan 30^\circ\tan 50^\circ\tan 70^\circ =\frac{1}{3}\\
\end{alignat}









<証明>

\begin{alignat}{2}
&(1)  \sin 20^\circ \sin 40^\circ\sin 60^\circ\sin 80^\circ\\
&=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 80^\circ (\sin 40^\circ\sin 20^\circ)\\
&=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 10^\circ \left(-\frac{1}{2}\right)(\cos 60^\circ-\cos 20^\circ)\\
&=-\frac{\sqrt{3}}{4} \cos 10^\circ \left(\frac{1}{2}-\cos 20^\circ\right)\\
&=-\frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{1}{2}\cos 10^\circ -\cos 20^\circ\cos 10^\circ\right)\\
&=-\frac{\sqrt{3}}{4}\left\{\frac{1}{2}\cos 10^\circ -\frac{1}{2}(\cos 30^\circ+\cos 10^\circ)\right\}\\
&=-\frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{1}{2}\cos 10^\circ -\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{2}\cos 10^\circ\right)=-\frac{\sqrt{3}}{4}\left(-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)=\frac{3}{16}\\
\end{alignat}以上より$$\sin 20^\circ \sin 40^\circ\sin 60^\circ\sin 80^\circ =\frac{3}{16}$$







\begin{alignat}{2}
&(2)  \cos 20^\circ \cos 40^\circ\cos 60^\circ\cos 80^\circ\\
&=\frac{1}{2}\cos 80^\circ (\cos 40^\circ\cos 20^\circ)\\
&=\frac{1}{2}\sin 10^\circ \cdot \frac{1}{2}(\cos 60^\circ+\cos 20^\circ)\\
&=\frac{1}{4} \sin 10^\circ \left(\frac{1}{2}+\cos 20^\circ\right)\\
&=\frac{1}{4} \left(\frac{1}{2}\sin 10^\circ +\cos 20^\circ\sin 10^\circ\right)\\
&=\frac{1}{4}\left\{\frac{1}{2}\sin 10^\circ +\frac{1}{2}(\sin 30^\circ-\sin 10^\circ)\right\}\\
&=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2}\sin 10^\circ +\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\sin 10^\circ\right)=\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{16}\\
\end{alignat}以上より$$\cos 20^\circ \cos 40^\circ\cos 60^\circ\cos 80^\circ =\frac{1}{16}$$






\((3)\) から \((6)\) は \((1)(2)\) の結果を用います。
\begin{alignat}{2}
&(3)  \tan 20^\circ \tan 40^\circ\tan 60^\circ\tan 80^\circ=\frac{\sin 20^\circ \sin 40^\circ\sin 60^\circ\sin 80^\circ}{\cos 20^\circ \cos 40^\circ\cos 60^\circ\cos 80^\circ}=\frac{3}{16} \cdot 16=3\\
&\\
&(4)  \sin 10^\circ \sin 30^\circ\sin 50^\circ\sin 70^\circ=\cos 80^\circ \cos 60^\circ\cos 40^\circ\cos 20^\circ=\frac{1}{16}\\
&\\
&(5)  \cos 10^\circ \cos 30^\circ\cos 50^\circ\cos 70^\circ=\sin 80^\circ \sin 60^\circ\sin 40^\circ\sin 20^\circ=\frac{3}{16}\\
&\\
&(6)  \tan 10^\circ \tan 30^\circ\tan 50^\circ\tan 70^\circ=\frac{1}{\tan 80^\circ \tan 60^\circ\tan 40^\circ\tan 20^\circ}=\frac{1}{3}\\
\end{alignat}

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