sin^2(ax)/(b^2-x^2)[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^2 ax}{b^2-x^2}dx=-\frac{π}{4b}\sin 2ab\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos^2 ax}{b^2-x^2}dx=\frac{π}{4b}\sin 2ab\\
\end{alignat}ただし、全て \(a,b \gt 0\)









<証明>

\((1)\) \(x=bt\) と置きます。\((dx=bdt)\)$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^2 ax}{b^2-x^2}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^2 abt}{b^2-b^2t^2} \cdot bdt=\frac{1}{b}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^2 abt}{1-t^2}dt$$ここで次の定積分を \(I(a)\) と置きます。$$I(a)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^2 abt}{1-t^2}dt$$\(I(a)\) を \(a\) で微分します。
\begin{alignat}{2}
&I’(a)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{2bt \sin abt \cos abt}{1-t^2}dt=b \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t \sin 2abt}{1-t^2}dt\\
&    =b \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^2 \sin 2abt}{t(1-t^2)}dt=-b \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\{(1-t^2)-1\} \sin 2abt}{t(1-t^2)}dt\\
&    =-b\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin 2abt}{t}dt+b \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin 2abt}{t(1-t^2)}dt\\
&    =-\frac{πb}{2}+b\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin 2abt}{t(1-t^2)}dt\\
\end{alignat}もう一度 \(a\) で微分します。
\begin{alignat}{2}
&I’’(a)=2b^2 \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos 2abt}{1-t^2}dt=-2b^2\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1-2\sin^2 abt}{1-t^2}dt\\
&    =2b^2\left(\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{1-t^2}dt-2 \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^2 abt}{1-t^2}dt\right)\\
&    =-4b^2I(a)
\end{alignat}よって、以下の微分方程式を得ます。$$I’’(a)+4b^2I(a)=0,  I(0)=0,  I’(0)=-\frac{πb}{2}$$特性方程式を解きます。$$λ^2+4b^2=0,  λ=\pm 2bi$$よって、一般解は$$I(a)=C_1 \cos 2ab+C_2 \sin 2ab$$定数 \(C_1,C_2\) を求めます。
\begin{alignat}{2}
&I’(a)=-2bC_1 \sin 2ab+2bC_2 \cos 2ab\\
&\\
&I(0)=C_1=0,  I’(0)=2bC_2=-\frac{πb}{2},  C_2=-\frac{π}{4}\\
\end{alignat}すなわち$$I(a)=-\frac{π}{4} \sin 2ab$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^2 ax}{b^2-x^2}dx=\frac{1}{b}I(a)=-\frac{π}{4b} \sin 2ab$$







\((2)\) \((1)\) の結果を用います。$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos^2 ax}{b^2-x^2}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1-\sin^2 ax}{b^2-x^2}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{b^2-x^2}dx-\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^2 ax}{b^2-x^2}dx=\frac{π}{4b} \sin 2ab$$

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