sin^2(ax)/(b^2+x^2)(c^2+x^2)[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^2 ax}{(b^2+x^2)(c^2+x^2)}dx=\frac{π(b-c+ce^{-2ab}-be^{-2ac})}{4bc(b^2-c^2)}\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos^2 ax}{(b^2+x^2)(c^2+x^2)}dx=\frac{π(b-c+be^{-2ac}-ce^{-2ab})}{4bc(b^2-c^2)}\\
&(3) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^2 ax}{(b^2-x^2)(c^2-x^2)}dx=\frac{π(c \sin 2ab-b \sin 2ac)}{4bc(b^2-c^2)}\\
&(4) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos^2 ax}{(b^2-x^2)(c^2-x^2)}dx=\frac{π(b \sin 2ac-c \sin 2ab)}{4bc(b^2-c^2)}\\
\end{alignat}ただし、全て \(a,b,c \gt 0,b≠c\)











<証明>

次の定積分の結果を用います。[詳細はこちらです。(A)(B)(C)(D)]
\begin{alignat}{2}
&(A) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^2 ax}{x^2+b^2}dx=\frac{π}{4b}(1-e^{-2ab})\\
&(B) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos^2 ax}{x^2+b^2}dx=\frac{π}{4b}(1+e^{-2ab})\\
&(C) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^2 ax}{b^2-x^2}dx=-\frac{π}{4b}\sin 2ab\\
&(D) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos^2 ax}{b^2-x^2}dx=\frac{π}{4b}\sin 2ab\\
\end{alignat}





\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^2 ax}{(b^2+x^2)(c^2+x^2)}dx\\
&=\frac{1}{b^2-c^2}\left(\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^2 ax}{x^2+c^2}dx-\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^2 ax}{x^2+b^2}dx\right)\\
&=\frac{1}{b^2-c^2}\left\{\frac{π}{4c}(1-e^{-2ac})-\frac{π}{4b}(1-e^{-2ab})\right\}\\
&=\frac{π}{4bc(b^2-c^2)}(b-be^{-2ac}-c+ce^{-2ab})=\frac{π(b-c+ce^{-2ab}-be^{-2ac})}{4bc(b^2-c^2)}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^2 ax}{(b^2+x^2)(c^2+x^2)}dx=\frac{π(b-c+ce^{-2ab}-be^{-2ac})}{4bc(b^2-c^2)}$$







\begin{alignat}{2}
&(2) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos^2 ax}{(b^2+x^2)(c^2+x^2)}dx\\
&=\frac{1}{b^2-c^2}\left(\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos^2 ax}{x^2+c^2}dx-\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos^2 ax}{x^2+b^2}dx\right)\\
&=\frac{1}{b^2-c^2}\left\{\frac{π}{4c}(1+e^{-2ac})-\frac{π}{4b}(1+e^{-2ab})\right\}\\
&=\frac{π}{4bc(b^2-c^2)}(b+be^{-2ac}-c-ce^{-2ab})=\frac{π(b-c+be^{-2ac}-ce^{-2ab})}{4bc(b^2-c^2)}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos^2 ax}{(b^2+x^2)(c^2+x^2)}dx=\frac{π(b-c+be^{-2ac}-ce^{-2ab})}{4bc(b^2-c^2)}$$







\begin{alignat}{2}
&(3) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^2 ax}{(b^2-x^2)(c^2-x^2)}dx\\
&=\frac{1}{b^2-c^2}\left(\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^2 ax}{c^2-x^2}dx-\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^2 ax}{b^2-x^2}dx\right)\\
&=\frac{1}{b^2-c^2}\left(-\frac{π}{4c}\sin 2ac+\frac{π}{4b}\sin 2ab\right)=\frac{π(c \sin 2ab-b \sin 2ac)}{4bc(b^2-c^2)}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^2 ax}{(b^2-x^2)(c^2-x^2)}dx=\frac{π(c \sin 2ab-b \sin 2ac)}{4bc(b^2-c^2)}$$







\begin{alignat}{2}
&(4) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos^2 ax}{(b^2-x^2)(c^2-x^2)}dx\\
&=\frac{1}{b^2-c^2}\left(\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos^2 ax}{c^2-x^2}dx-\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos^2 ax}{b^2-x^2}dx\right)\\
&=\frac{1}{b^2-c^2}\left(\frac{π}{4c}\sin 2ac-\frac{π}{4b}\sin 2ab\right)=\frac{π(b \sin 2ac-c \sin 2ab)}{4bc(b^2-c^2)}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos^2 ax}{(b^2-x^2)(c^2-x^2)}dx=\frac{π(b \sin 2ac-c \sin 2ab)}{4bc(b^2-c^2)}$$

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