sin^2(ax)/x^2(b^2+x^2)[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^2 ax}{x^2(b^2+x^2)}dx=\frac{π}{4b^2}\left\{2a-\frac{1}{b}(1-e^{-2ab})\right\}\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^2 ax}{x^2(b^2-x^2)}dx=\frac{π}{4b^2}\left\{2a-\frac{1}{b}\sin 2ab\right\}\\
\end{alignat}ただし、全て \(a,b \gt 0\)








<証明>

次の定積分の結果を用います。[詳細はこちらです。(A)(B)(C)]
\begin{alignat}{2}
&(A) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^2 ax}{x^2}dx=\frac{πa}{2}\\
&(B) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^2 ax}{x^2+b^2}dx=\frac{π}{4b}(1-e^{-2ab})\\
&(C) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^2 ax}{b^2-x^2}dx=-\frac{π}{4b}\sin 2ab\\
\end{alignat}




どちらも部分分数分解後 \((A)(B)(C)\) を代入します。
\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^2 ax}{x^2(b^2+x^2)}dx=\frac{1}{b^2}\left(\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^2 ax}{x^2}dx-\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^2 ax}{x^2+b^2}dx\right)\\
&                    =\frac{1}{b^2}\left\{\frac{πa}{2}-\frac{π}{4b}(1-e^{2ab})\right\}\\
&                    =\frac{π}{4b^2}\left\{2a-\frac{1}{b}(1-e^{-2ab})\right\}\\
\end{alignat}







\begin{alignat}{2}
&(2) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^2 ax}{x^2(b^2-x^2)}dx=\frac{1}{b^2}\left(\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^2 ax}{x^2}dx+\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^2 ax}{b^2-x^2}dx\right)\\
&                    =\frac{1}{b^2}\left(\frac{πa}{2}-\frac{π}{4b}\sin 2ab\right)\\
&                    =\frac{π}{4b^2}\left(2a-\frac{1}{b}\sin 2ab\right)\\
\end{alignat}

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