sin^2axsin^2bx/x^4[0,∞]の定積分

$$\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{\sin ^2ax \sin ^2 bx}{x^4}dx=\frac{π}{6} \min (a^2,b^2)[3 \max (a,b)- \min (a,b)]$$







<証明>

半角の公式で次数を下げて、
積和の公式で三角関数を切り離します。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty}\frac{\sin ^2ax \sin ^2 bx}{x^4}dx\\
&=\frac{1}{4}\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{(1- \cos 2ax)(1- \cos 2bx)}{x^4}dx\\
&=\frac{1}{4}\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{1- \cos 2ax- \cos 2bx+\cos 2ax \cos 2bx }{x^4}dx\\
&=\frac{1}{8}\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{2- 2 \cos 2ax- 2 \cos 2bx+ 2 \cos 2ax \cos 2bx }{x^4}dx\\
&=\frac{1}{8}\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{2- 2 \cos 2ax- 2 \cos 2bx+ \cos (2a+2b)x+ \cos (2a-2b)x}{x^4}dx\\
\end{alignat}部分積分を分母の \(x\) の次数が \(1\) 次なるまで繰り返します。
\begin{alignat}{2}
&=-\frac{1}{8}\left[\frac{2- 2 \cos 2ax- 2 \cos 2bx+ \cos (2a+2b)x+ \cos (2a-2b)x}{3x^3}\right]_0^{\infty}\\
&  +\frac{1}{8}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{4a \sin 2ax+4b \sin 2bx -(2a+2b) \sin(2a+2b)x-(2a-2b)\sin (2a-2b)x}{3x^3}dx
\end{alignat}上側の括弧の計算はロピタルの定理を用います。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{2- 2 \cos 2ax- 2 \cos 2bx+ \cos (2a+2b)x+ \cos (2a-2b)x}{3x^3}\\
&=\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{4a \sin 2ax+4b \sin 2bx -(2a+2b) \sin(2a+2b)x-(2a-2b)\sin (2a-2b)x}{9x^2}\\
&=\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{8a^2 \cos 2ax+8b^2 \cos 2bx -(2a+2b)^2 \cos(2a+2b)x-(2a-2b)^2\cos (2a-2b)x}{18x}\\
&=\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{-16a^3 \sin 2ax-16b^3 \sin 2bx +(2a+2b)^3 \sin(2a+2b)x+(2a-2b)^3 \sin (2a-2b)x}{18}=0
\end{alignat}よって求める積分は$$\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{\sin ^2ax \sin ^2 bx}{x^4}dx=\frac{1}{24}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{4a \sin 2ax+4b \sin 2bx -(2a+2b) \sin(2a+2b)x-(2a-2b)\sin (2a-2b)x}{x^3}dx$$
部分積分を行います。
\begin{alignat}{2}
&=-\frac{1}{24}\left[\frac{4a \sin 2ax+4b \sin 2bx -(2a+2b) \sin(2a+2b)x-(2a-2b)\sin (2a-2b)x}{2x^2}\right]_0^{\infty}\\
&  +\frac{1}{24} \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{8a^2 \cos 2ax+8b^2 \cos 2bx -(2a+2b)^2 \cos(2a+2b)x-(2a-2b)^2\cos (2a-2b)x}{2x^2}dx
\end{alignat}上側の括弧の計算はロピタルの定理を用います。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{4a \sin 2ax+4b \sin 2bx -(2a+2b) \sin(2a+2b)x-(2a-2b)\sin (2a-2b)x}{2x^2}\\
&=\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{8a^2 \cos 2ax+8b^2 \cos 2bx -(2a+2b)^2 \cos(2a+2b)x-(2a-2b)^2\cos (2a-2b)x}{4x}\\
&=\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{-16a^3 \sin 2ax-16b^3 \sin 2bx +(2a+2b)^3 \sin(2a+2b)x+(2a-2b)^3 \sin (2a-2b)x}{4}=0
\end{alignat}よって求める積分は$$\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{\sin ^2ax \sin ^2 bx}{x^4}dx=\frac{1}{48} \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{8a^2 \cos 2ax+8b^2 \cos 2bx -(2a+2b)^2 \cos(2a+2b)x-(2a-2b)^2\cos (2a-2b)x}{x^2}dx$$
部分積分を行います。
\begin{alignat}{2}
&=-\frac{1}{48}\left[\frac{8a^2 \cos 2ax+8b^2 \cos 2bx -(2a+2b)^2 \cos(2a+2b)x-(2a-2b)^2\cos (2a-2b)x}{x}\right]_0^{\infty}\\
&  +\frac{1}{48}\displaystyle\int^{\infty} \frac{-16a^3 \sin 2ax-16b^3 \sin 2bx +(2a+2b)^3 \sin(2a+2b)x+(2a-2b)^3 \sin (2a-2b)x}{x}dx
\end{alignat}上側の括弧の計算はロピタルの定理を用います。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{8a^2 \cos 2ax+8b^2 \cos 2bx -(2a+2b)^2 \cos(2a+2b)x-(2a-2b)^2\cos (2a-2b)x}{x}\\
&=\displaystyle\lim_{x \to 0} \{-16a^3 \sin 2ax-16b^3 \sin 2bx +(2a+2b)^3 \sin(2a+2b)x+(2a-2b)^3 \sin (2a-2b)x\}=0
\end{alignat}よって求める積分は
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{\sin ^2ax \sin ^2 bx}{x^4}dx=\frac{1}{48}\displaystyle\int^{\infty} \frac{-16a^3 \sin 2ax-16b^3 \sin 2bx +(2a+2b)^3 \sin(2a+2b)x+(2a-2b)^3 \sin (2a-2b)x}{x}dx\\
&=-\frac{a^3}{3}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin 2ax}{x}dx-\frac{b^3}{3}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin 2bx}{x}dx+\frac{(a+b)^3}{6}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin (2a+2b)x}{x}dx+\frac{(a-b)^3}{6}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin (2a-2b)x}{x}dx
\end{alignat}
\((A)\) \(a \gt b\) のとき
\begin{alignat}{2}
&=-\frac{a^3}{3}\cdot \frac{π}{2}-\frac{b^3}{3}\cdot \frac{π}{2}+\frac{(a+b)^3}{6}\cdot \frac{π}{2}+\frac{(a-b)^3}{6}\cdot \frac{π}{2}\\
&=\frac{π}{2}\left(-\frac{a^3}{3}-\frac{b^3}{3}+\frac{a^3+3ab^2}{3}\right)\\
&=\frac{π}{6}(3ab^2-b^3)=\frac{πb^2}{6}(3a-b)\\
\end{alignat}
\((B)\) \(a \lt b\) のとき
\begin{alignat}{2}
&=-\frac{a^3}{3}\cdot \frac{π}{2}-\frac{b^3}{3}\cdot \frac{π}{2}+\frac{(a+b)^3}{6}\cdot \frac{π}{2}-\frac{(a-b)^3}{6}\cdot \frac{π}{2}\\
&=\frac{π}{2}\left(-\frac{a^3}{3}-\frac{b^3}{3}+\frac{3ab^2+b^3}{3}\right)\\
&=\frac{π}{6}(3a^2b-a^3)=\frac{πa^2}{6}(3b-a)\\
\end{alignat}
\((B)\) \(a=b\) のとき
\begin{alignat}{2}
&=-\frac{a^3}{3}\cdot \frac{π}{2}-\frac{b^3}{3}\cdot \frac{π}{2}+\frac{(a+b)^3}{6}\cdot \frac{π}{2}\\
&=-\frac{πa^3}{3}+\frac{4a^3}{3}\cdot \frac{π}{2}\\
&=-\frac{πa^3}{3}+\frac{2πa^3}{3}=\frac{πa^3}{3}
\end{alignat}以上より、これらをまとめると$$\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{\sin ^2ax \sin ^2 bx}{x^4}dx=\frac{π}{6} \min (a^2,b^2)[3 \max (a,b)- \min (a,b)]$$

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