sin^{2m+1}xcos^{2n-1}x/x[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\infty}\frac{\sin^{2m+1} x \cos^{2n}x}{x}dx=\frac{(2m-1)!!(2n-1)!!}{2^{m+n+1}(m+n)!}π\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\infty}\frac{\sin^{2m+1} x \cos^{2n-1}x}{x}dx=\frac{(2m-1)!!(2n-1)!!}{2^{m+n+1}(m+n)!}π\\
&(3) \displaystyle\int_0^{\infty}\frac{\sin^{2m+1} 2x \cos^{2n-1} 2x \cos^2 x}{x}dx=\frac{(2m-1)!!(2n-1)!!}{2^{m+n+1}(m+n)!}π\\
\end{alignat}ただし、全て \(n,m \in \mathrm{N}\)







<証明>

次のロバチェフスキーの積分定理を用います。(詳細はこちらです)

\((A)\) \(f(x+π)=f(x)\) かつ \(f(-x)=f(x)\) のとき$$\displaystyle\int_0^{\infty} f(x) \cdot \frac{\sin x}{x}dx=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}f(x)dx$$
\((B)\) \(f(x+π)=-f(x)\) かつ \(f(-x)=f(x)\) のとき$$\displaystyle\int_0^{\infty} f(x) \cdot \frac{\sin x}{x}dx=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}f(x) \cos xdx$$







$$(1) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^{2m+1} x \cos^{2n}x}{x}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \sin^{2m} x \cos^{2n}x \cdot\frac{\sin x}{x}dx $$\(f(x)=\sin^{2m} x \cos^{2n}x\) と置くと、

\(f(x+π)=f(x)\) かつ \(f(-x)=f(x)\) を満たす。よって
\begin{alignat}{2}
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin^{2m} x \cos^{2n}xdx=\frac{1}{2}B\left(m+\frac{1}{2},n+\frac{1}{2}\right)\\
&=\frac{1}{2} \cdot \frac{Γ\left(m+\frac{1}{2}\right)Γ\left(n+\frac{1}{2}\right)}{Γ(m+n+1)}\\
&=\frac{1}{2} \cdot \frac{(2m-1)!!}{2^m}\sqrt{π}\cdot \frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt{π} \cdot \frac{1}{(m+n)!}\\
&=\frac{(2m-1)!!(2n-1)!!}{2^{m+n+1}(m+n)!}π
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{\sin^{2m+1} x \cos^{2n}x}{x}dx=\frac{(2m-1)!!(2n-1)!!}{2^{m+n+1}(m+n)!}π$$







$$(2) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^{2m+1} x \cos^{2n-1}x}{x}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \sin^{2m} x \cos^{2n-1}x \cdot\frac{\sin x}{x}dx $$\(f(x)=\sin^{2m} x \cos^{2n-1}x\) と置くと、

\(f(x+π)=-f(x)\) かつ \(f(-x)=f(x)\) を満たす。よって
\begin{alignat}{2}
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin^{2m} x \cos^{2n-1}x \cdot \cos xdx\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin^{2m} x \cos^{2n}xdx
\end{alignat}\((1)\) と同様の積分であるので、以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{\sin^{2m+1} x \cos^{2n-1}x}{x}dx=\frac{(2m-1)!!(2n-1)!!}{2^{m+n+1}(m+n)!}π$$







\((3)\) \(2x=t\) と置きます。\((2dx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty}\frac{\sin^{2m+1} 2x \cos^{2n-1} 2x \cos^2 x}{x}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^{2m+1} t \cos^{2n-1} t \cos^2 \frac{t}{2}}{\frac{t}{2}}\cdot \frac{1}{2}dt\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^{2m+1} t \cos^{2n-1} t }{t}\cdot \frac{1+\cos t}{2}dt\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{\sin^{2m+1} t \cos^{2n-1}t}{t}dt+\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{\sin^{2m+1} t \cos^{2n}t}{t}dt\\
\end{alignat}上記の二つの積分は \((1)(2)\) であるから$$=\frac{1}{2} \cdot 2 \displaystyle\int_0^{\infty}\frac{\sin^{2m+1} x \cos^{2n}x}{x}dx=\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{\sin^{2m+1} x \cos^{2n}x}{x}dx$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{\sin^{2m+1} 2x \cos^{2n-1} 2x \cos^2 x}{x}dx=\frac{(2m-1)!!(2n-1)!!}{2^{m+n+1}(m+n)!}π$$


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