sin(2n-1)x/sinx[0,π/2]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (2n-1)x}{\sin x}dx=\frac{π}{2}\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\sin 2nx}{\sin x}dx=2\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}\\
&(3)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (2n-1)x \cos x}{\sin x}dx=\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}+2\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}\\
&(4)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\sin 2nx \cos x}{\sin x}dx=\frac{π}{2}\\
\end{alignat}ただし、全て \(n \geq 0,\,n \in \mathrm{Z}\)








<証明>

次の定積分を \(I_n\) と置きます。$$I_n=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\sin nx}{\sin x}dx$$分母の \(\sin x\) を消去するために \(I_n-I_{n-2}\) を計算します。
\begin{alignat}{2}
I_n-I_{n-2}&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\sin nx-\sin (n-2)x}{\sin x}dx\\
&=2\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (n-1) x \sin x}{\sin x}dx=2 \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos (n-1) xdx\\
&=2 \left[\frac{1}{n-1}\sin (n-1) x\right]_0^{\frac{π}{2}}=\frac{2}{n-1}\sin \frac{(n-1)π}{2}\\
\end{alignat}

\((1)\) \(n\) が奇数のとき、\(n=2k-1\,(k \in \mathrm{N})\) と置くと$$I_{2k-1}-I_{2k-3}=\frac{1}{k-1}\sin (k-1)π=0$$となり \(I_{2k-1}=I_{2k-3}\) を得るので$$I_1=I_3=I_5= \cdots =I_{2n-1}$$よって$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (2n-1)x}{\sin x}dx=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\sin x}{\sin x}dx=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}dx=\frac{π}{2}$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (2n-1)x}{\sin x}dx=\frac{π}{2}$$







\((2)\) \(n\) が偶数のとき、\(n=2k\,(k \geq 0,\,k \in \mathrm{Z})\) と置くと
\begin{alignat}{2}
I_{2k}-I_{2k-2}&=\frac{2}{2k-1}\sin \left(k-\frac{1}{2}\right)π\\
&=-\frac{2}{2k-1}\cos kπ=\frac{2(-1)^{k-1}}{2k-1}\\
\end{alignat}\(k=1,2,3 \cdots n-1,n\) のとき$$I_2-I_0=\frac{2}{1},  I_4-I_2=-\frac{2}{3},  I_6-I_4=\frac{2}{5},  \cdots, I_{2n}-I_{2n-2}=\frac{2(-1)^{n-1}}{2n-1}$$これらを全て足し合わせると
\begin{alignat}{2}
I_{2n}-I_0&=\frac{2}{1}-\frac{2}{3}+\frac{2}{5}- \cdots +\frac{2(-1)^{n-1}}{2n-1}\\
&=2\left\{1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}- \cdots +\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}\right\}\\
I_{2n}&=2\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\sin 2nx}{\sin x}dx=2\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}$$







\((3)\) \((2)\) の結果を用います。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (2n-1)x \cos x}{\sin x}dx&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\sin 2nx +\sin (2n-2)x}{\sin x}dx\\
&=\frac{1}{2}\left\{\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\sin 2nx}{\sin x}dx+\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (2n-2)x}{\sin x}dx\right\}\\
&=\frac{1}{2}\left\{2 \displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}+2 \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}\right\}\\
&=\frac{1}{2}\left\{\frac{2(-1)^{n-1}}{2n-1}+2 \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}+2 \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}\right\}\\
&=\frac{1}{2}\left\{\frac{2(-1)^{n-1}}{2n-1}+4 \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}\right\}\\
&=\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}+2 \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (2n-1)x \cos x}{\sin x}dx=\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}+2 \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}$$








\((4)\) \((1)\) の結果を用います。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\sin 2nx \cos x}{\sin x}dx&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (2n+1)x +\sin (2n-1)x}{\sin x}dx\\
&=\frac{1}{2}\left\{\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (2n+1)x}{\sin x}dx+\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (2n-1)x}{\sin x}dx\right\}\\
&=\frac{1}{2}\left(\frac{π}{2}+\frac{π}{2}\right)=\frac{π}{2}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\sin 2nx \cos x}{\sin x}dx=\frac{π}{2}$$






 


 

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