(sin^{2n}ax-sin^{2n}bx)/x[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^{2n} ax-\sin^{2n} bx}{x}dx=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \log \frac{a}{b}\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos^{2n} ax-\cos^{2n} bx}{x}dx=\left\{1-\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right\} \log \frac{b}{a}\\
\end{alignat}ただし、全て \(a,b \gt 0,\) \(n\) は \(0\) 以上の整数。








<証明>

次の公式を用いて、三角関数の次数を下げます。(詳細はこちらです)
\begin{alignat}{2}
&(A) \sin^{2n} x=\frac{{}_{2n}\mathrm{C}_n}{2^{2n}}+\frac{1}{2^{2n-1}}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{n-k} {}_{2n}\mathrm{C}_k \cos (2n-2k)x\\
&(B) \cos^{2n} x=\frac{{}_{2n}\mathrm{C}_n}{2^{2n}}+\frac{1}{2^{2n-1}}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}{}_{2n}\mathrm{C}_k \cos (2n-2k)x\\
\end{alignat}ただし \(n\) は \(0\) 以上の整数。




また、次の積分の結果を用います。(詳細はこちらです)$$(D) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos ax- \cos bx}{x}dx=\log \frac{b}{a}$$ただし \(a,b \gt 0\)






\((1)\) \((A)\) を用います。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^{2n} ax-\sin^{2n} bx}{x}dx\\
&=\frac{1}{2^{2n-1}}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} (-1)^{n-k} {}_{2n}\mathrm{C}_k \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos(2n-2k)ax-\cos (2n-2k)bx}{x}dx\\
&=\frac{(-1)^n}{2^{2n-1}}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} (-1)^{k} {}_{2n}\mathrm{C}_k \log \frac{b}{a}\\
\end{alignat}シグマの計算を行います。\((1-x)^{2n}\) を二項展開します。
\begin{alignat}{2}
&(1-x)^{2n}={}_{2n}\mathrm{C}_0-{}_{2n}\mathrm{C}_1 x+{}_{2n}\mathrm{C}_2 x^2-{}_{2n}\mathrm{C}_3 x^3+ \cdots \\
&\\
&          \cdots +(-1)^{n-2}{}_{2n}\mathrm{C}_{n-2}x^{n-2}+(-1)^{n-1}{}_{2n}\mathrm{C}_{n-1}x^{n-1}+(-1)^n{}_{2n}\mathrm{C}_n x^n +(-1)^{n+1}{}_{2n}\mathrm{C}_{n+1}x^{n+1}+ \cdots \\
&\\
&                            \cdots +(-1)^{2n-1}{}_{2n}\mathrm{C}_{2n-1}x^{2n-1}+(-1)^{2n}{}_{2n}\mathrm{C}_{2n}x^{2n}\\
\end{alignat}\(x=1\) のとき
\begin{alignat}{2}
&0={}_{2n}\mathrm{C}_0-{}_{2n}\mathrm{C}_1 +{}_{2n}\mathrm{C}_2 -{}_{2n}\mathrm{C}_3 + \cdots \\
&\\
&          \cdots +(-1)^{n-2}{}_{2n}\mathrm{C}_{n-2}+(-1)^{n-1}{}_{2n}\mathrm{C}_{n-1}+(-1)^n{}_{2n}\mathrm{C}_n +(-1)^{n+1}{}_{2n}\mathrm{C}_{n+1}+ \cdots \\
&\\
&                            \cdots +(-1)^{2n-1}{}_{2n}\mathrm{C}_{2n-1}+(-1)^{2n}{}_{2n}\mathrm{C}_{2n}\\
\end{alignat}後半の項を書き直します。
\begin{alignat}{2}
&(-1)^{2n}{}_{2n}\mathrm{C}_{2n}+(-1)^{2n-1}{}_{2n}\mathrm{C}_{2n-1}+ \cdots +(-1)^{n+2}{}_{2n}\mathrm{C}_{n+2}+(-1)^{n+1}{}_{2n}\mathrm{C}_{n+1}\\
&\\
&={}_{2n}\mathrm{C}_0-{}_{2n}\mathrm{C}_1+ \cdots +(-1)^{n-2}{}_{2n}\mathrm{C}_{n-2}+(-1)^{n-1}{}_{2n}\mathrm{C}_{n-1}
\end{alignat}となり、前半の \(n\) 項を同じです。これを \(A\) とすると \(\displaystyle A=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{k} {}_{2n}\mathrm{C}_k\) であり$$0=A+(-1)^n{}_{2n}\mathrm{C}_n+A,  A=\frac{(-1)^{n+1}{}_{2n}\mathrm{C}_n}{2}$$よって
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^{2n} ax-\sin^{2n} bx}{x}dx=\frac{(-1)^n}{2^{2n-1}}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} (-1)^{k} {}_{2n}\mathrm{C}_k \log \frac{b}{a}=\frac{(-1)^n}{2^{2n-1}} \cdot A\log \frac{b}{a}\\
&                      =\frac{(-1)^n}{2^{2n-1}} \cdot \frac{(-1)^{n+1}{}_{2n}\mathrm{C}_n}{2} \cdot \log \frac{b}{a}=\frac{{}_{2n}\mathrm{C}_n}{2^{2n}}\log \frac{a}{b}\\
&                      =\frac{1}{2^{2n}} \cdot \frac{(2n)!}{n!\cdot n!}\log \frac{a}{b}=\frac{(2n)!}{(2n)!!(2n)!!}\log \frac{a}{b}=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \log \frac{a}{b}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^{2n} ax-\sin^{2n} bx}{x}dx=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \log \frac{a}{b}$$








\((2)\) \(B\) を用います。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos^{2n} ax-\cos^{2n} bx}{x}dx\\
&=\frac{1}{2^{2n-1}}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} {}_{2n}\mathrm{C}_k \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos(2n-2k)ax-\cos (2n-2k)bx}{x}dx\\
&=\frac{1}{2^{2n-1}}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} {}_{2n}\mathrm{C}_k \log \frac{b}{a}\\
\end{alignat}シグマの計算を行います。\((1+x)^{2n}\) を二項展開します。
\begin{alignat}{2}
&(1+x)^{2n}={}_{2n}\mathrm{C}_0+{}_{2n}\mathrm{C}_1 x+{}_{2n}\mathrm{C}_2 x^2+{}_{2n}\mathrm{C}_3 x^3+ \cdots \\
&\\
&          \cdots +{}_{2n}\mathrm{C}_{n-2}x^{n-2}+{}_{2n}\mathrm{C}_{n-1}x^{n-1}+{}_{2n}\mathrm{C}_n x^n +{}_{2n}\mathrm{C}_{n+1}x^{n+1}+ \cdots \\
&\\
&                            \cdots +{}_{2n}\mathrm{C}_{2n-1}x^{2n-1}+{}_{2n}\mathrm{C}_{2n}x^{2n}\\
\end{alignat}\(x=1\) のとき
\begin{alignat}{2}
&2^{2n}=({}_{2n}\mathrm{C}_0+{}_{2n}\mathrm{C}_1 +{}_{2n}\mathrm{C}_2 +{}_{2n}\mathrm{C}_3 + \cdots \\
&\\
&          \cdots +{}_{2n}\mathrm{C}_{n-2}+{}_{2n}\mathrm{C}_{n-1})+{}_{2n}\mathrm{C}_n+({}_{2n}\mathrm{C}_{n+1}+ \cdots    \cdots +{}_{2n}\mathrm{C}_{2n-1}+{}_{2n}\mathrm{C}_{2n})\
\end{alignat}前半の \(n\) 項と後半の \(n\) 項は同じであり、これを \(\displaystyle A=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} {}_{2n}\mathrm{C}_k\) と置くと$$2^{2n}=2A+{}_{2n}\mathrm{C}_n,  A=\frac{2^{2n}-{}_{2n}\mathrm{C}_n}{2}$$よって
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos^{2n} ax-\cos^{2n} bx}{x}dx=\frac{1}{2^{2n-1}}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} {}_{2n}\mathrm{C}_k \log \frac{b}{a}=\frac{1}{2^{2n-1}} \cdot A\log \frac{b}{a}\\
&                      =\frac{1}{2^{2n-1}} \cdot \frac{2^{2n}-{}_{2n}\mathrm{C}_n}{2} \log \frac{b}{a}\\
&                      =\left(1-\frac{{}_{2n}\mathrm{C}_n}{2^{2n}}\right)\log \frac{b}{a}=\left\{1-\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right\} \log \frac{b}{a}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos^{2n} ax-\cos^{2n} bx}{x}dx=\left\{1-\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right\} \log \frac{b}{a}$$





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