sin2nx/sinx[0,π]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^π \frac{\sin 2nx}{\sin x}dx=0\\
&(2)  \displaystyle\int_0^π \frac{\sin (2n+1)x}{\sin x}dx=π\\
&(3)  \displaystyle\int_0^π \frac{\sin nx \cos mx}{\sin x}dx=
\begin{cases}
0  (n \leq m)\\
π  (n \gt m,\,m+n\,\,\mathrm{is\,\,odd\,\,and\,\,positive})\\
0  (n \gt m,\,m+n\,\,\mathrm{is\,\, even})
\end{cases}
\end{alignat}ただし、全て \(n,m \geq 0\,n,m \in \mathrm{Z}\)









\((1)(2)\)  次の積分を \(I_n\) と置きます。$$I_n=\frac{1}{π}\displaystyle\int_0^π \frac{\sin nx}{\sin x}dx$$ここで \(I_n-I_{n-2}\) を計算します。
\begin{alignat}{2}
&I_n-I_{n-2}=\frac{1}{π}\displaystyle\int_0^π \frac{ \sin nx – \sin (n-2)x}{\sin x}dx\\
&        =\frac{2}{π}\displaystyle\int_0^π \frac{\cos (n-1)x \sin x}{\sin x}dx=\frac{2}{π}\displaystyle\int_0^π \cos (n-1)xdx\\
&        =\frac{2}{π}\left[\frac{1}{n-1} \sin (n-1)x\right]_0^π=0
\end{alignat}よって \(I_n=I_{n-2}\) となり偶奇の積分値は一致します。すなわち
\begin{alignat}{2}
&I_{2n}=I_2=\frac{1}{π}\displaystyle\int_0^π \frac{2 \sin x \cos x}{\sin x}dx=\frac{2}{π}\displaystyle\int_0^π \cos xdx=\frac{2}{π}[\sin x]_0^π=0\\
&I_{2n+1}=I_1=\frac{1}{π}\displaystyle\int_0^πdx=\frac{1}{π}[x]_0^π=1
\end{alignat}以上より
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^π \frac{\sin 2nx}{\sin x}dx=πI_{2n}=0\\
&\displaystyle\int_0^π \frac{\sin (2n+1)x}{\sin x}dx=πI_{2n+1}=π
\end{alignat}






\((3)\) 積分を切り離し \((1)(2)\) の結果を用います。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^π \frac{\sin nx \cos mx}{\sin x}dx&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^π \frac{\sin (n+m)x+ \sin (n-m)x}{\sin x}dx\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^π \frac{\sin (n+m)x}{\sin x}dx+\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^π \frac{\sin (n-m)x}{\sin x}dx\\
\end{alignat}
\((A)\) \(n \leq m\) のとき$$=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^π \frac{\sin (m+n)x}{\sin x}dx-\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^π \frac{\sin (m-n)x}{\sin x}dx$$
\((α)\) \(m+n\) が奇数のとき \(m+n=2l-1\,(l \in \mathrm{N})\) であり

\(m-n=2(l-n)-1\) となって \(m-n\) も奇数だから$$=\frac{π}{2}-\frac{π}{2}=0$$

\((β)\) \(m+n\) が偶数のとき \(m+n=2l\,(l \in \mathrm{N})\) であり

\(m-n=2(l-n)\) となって \(m-n\) も偶数だから$$=0-0=0$$


\((B)\) \(n \gt m\) かつ \(m+n\) が正の奇数のとき

\(n+m=2l-1\,(l \in \mathrm{N})\) であり

\(n-m=2(l-n)-1\) となって \(n-m\) も正の奇数だから$$=\frac{π}{2}+\frac{π}{2}=π$$


\((C)\) \(n \gt m\) かつ \(m+n\) が偶数のとき

\(n+m=2l\,(l \in \mathrm{N})\) であり

\(n-m=2(l-n)\) となって \(n-m\) も偶数だから$$=0+0=0$$
以上より
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^π \frac{\sin nx \cos mx}{\sin x}dx=
\begin{cases}
0  (n \leq m)\\
π  (n \gt m,\,m+n\,\,\mathrm{is\,\,odd\,\,and\,\,positive})\\
0  (n \gt m,\,m+n\,\,\mathrm{is\,\, even})
\end{cases}
\end{alignat}




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