sin2x/(1+asin^{2}x)(1+bsin^{2}x)などの不定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int \frac{\sin 2x}{(1+a \sin^2 x)(1+b \sin^2 x)}dx=\frac{1}{a-b}\log \left|\frac{1+a \sin^2 x}{1+b \sin^2 x}\right|\\
&(2)  \displaystyle\int \frac{\sin 2x}{(1+a \sin^2 x)(1+b \cos^2 x)}dx=\frac{1}{a+ab+b}\log \left|\frac{1+a \sin^2 x}{1+b \cos^2 x}\right|\\
&(3)  \displaystyle\int \frac{\sin 2x}{(1+a \cos^2 x)(1+b \cos^2 x)}dx=\frac{1}{a-b}\log \left|\frac{1+b \cos^2 x}{1+a \cos^2 x}\right|\\
&(4)  \displaystyle\int \frac{\sin 2x}{(1-\sin^2 A \cos^2 x)(1-\sin^2 B\cos^2 x)}dx=\frac{1}{\cos^2 A- \cos^2 B}\log \left|\frac{1-\sin^2 B \cos^2 x}{1-\sin^2 A \cos^2x}\right|
\end{alignat}








<証明>

\((1)(2)\) は \(\sin^2 x=t\) と置きます。\((\sin 2xdx=dt)\)

$$(1)  \displaystyle\int \frac{\sin 2x}{(1+a \sin^2 x)(1+b \sin^2 x)}dx=\displaystyle\int \frac{1}{(1+at)(1+bt)}dt$$部分分数分解を行います。$$\frac{A}{1+at}+\frac{B}{1+bt}=\frac{1}{(1+at)(1+bt)}$$\(A,B\) を求めます。
\begin{alignat}{2}
A(1+bt)+B(1+at)&=1\\
&\\
A+Abt+B+Bat&=1\\
&\\
(Ab+Ba)t+A+B&=1\\
&\\
Ab+Ba=1,  A+B=1
\end{alignat}これを解くと$$A=\frac{a}{a-b},  B=-\frac{b}{a-b}$$元の積分計算に戻ります。
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{a-b}\displaystyle\int \left(\frac{a}{1+at}-\frac{b}{1+bt}\right)dt\\
&=\frac{1}{a-b}\log \left|\frac{1+at}{1+bt}\right|=\frac{1}{a-b}\log \left|\frac{1+a \sin^2 x}{1+b \sin^2 x}\right|
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int \frac{\sin 2x}{(1+a \sin^2 x)(1+b \sin^2 x)}dx=\frac{1}{a-b}\log \left|\frac{1+a \sin^2 x}{1+b \sin^2 x}\right|$$









$$(2)  \displaystyle\int \frac{\sin 2x}{(1+a \sin^2 x)(1+b \cos^2 x)}dx=\displaystyle\int \frac{\sin 2x}{(1+a \sin^2 x)(1+b-b \sin^2 x)}dx=\displaystyle\int \frac{1}{(1+at)(1+b-bt)}dt$$部分分数分解を行います。$$\frac{A}{1+at}+\frac{B}{1+b-bt}=\frac{1}{(1+at)(1+b-bt)}$$\(A,B\) を求めます。
\begin{alignat}{2}
A(1+b-bt)+B(1+at)&=1\\
&\\
A+Ab-Abt+B+Bat&=1\\
&\\
(Ba-Ab)t+A+Ab+B&=1\\
&\\
Ba-Ab=0,  A+Ab+B=1
\end{alignat}これを解くと$$A=\frac{a}{a+ab+b},  B=\frac{b}{a+ab+b}$$元の積分計算に戻ります。
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{a+ab+b}\displaystyle\int \left(\frac{a}{1+at}-\frac{b}{1+b-bt}\right)dt\\
&=\frac{1}{a+ab+b}\log \left|\frac{1+at}{1+(1-t)b}\right|=\frac{1}{a+ab+b}\log \left|\frac{1+a \sin^2 x}{1+b \cos^2 x}\right|
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int \frac{\sin 2x}{(1+a \sin^2 x)(1+b \cos^2 x)}dx=\frac{1}{a+ab+b}\log \left|\frac{1+a \sin^2 x}{1+b \cos^2 x}\right|$$







\((3)(4)\) は \(\cos^2 x=t\) と置きます。\((-\sin 2xdx=dt)\)
$$(3)  \displaystyle\int \frac{\sin 2x}{(1+a \cos^2 x)(1+b \cos^2 x)}dx=-\displaystyle\int \frac{1}{(1+at)(1+bt)}dt$$\((1)\) と同様の部分分数分解を行います。
\begin{alignat}{2}
&=-\frac{1}{a-b}\displaystyle\int \left(\frac{a}{1+at}-\frac{b}{1+bt}\right)dt\\
&=-\frac{1}{a-b}\log \left|\frac{1+at}{1+bt}\right|=\frac{1}{a-b}\log \left|\frac{1+b \cos^2 x}{1+a \cos^2 x}\right|
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int \frac{\sin 2x}{(1+a \cos^2 x)(1+b \cos^2 x)}dx=\frac{1}{a-b}\log \left|\frac{1+b \cos^2 x}{1+a \cos^2 x}\right|$$







$$(4)  \displaystyle\int \frac{\sin 2x}{(1-\sin^2 A \sin^2 x)(1-\sin^2 B \sin^2 x)}dx=-\displaystyle\int \frac{1}{(1-t\sin^2 A)(1-t \sin^2 B)}dt$$\(\sin^2A=a,\,\sin^2 B=b\) と置きます。$$=-\displaystyle\int \frac{1}{(1-at)(1-bt)}dt$$部分分数分解を行います。$$\frac{C}{1-at}+\frac{D}{1-bt}=\frac{1}{(1-at)(1-bt)}$$\(C,D\) を求めます。
\begin{alignat}{2}
C(1-bt)+D(1-at)&=1\\
&\\
C-Cbt+D-Dat&=1\\
&\\
(-Cb-Da)t+C+D&=1\\
&\\
Cb+Da=1,  C+D=1
\end{alignat}これを解くと$$C=\frac{a}{a-b},  D=-\frac{b}{a-b}$$元の積分計算に戻ります。
\begin{alignat}{2}
&=-\frac{1}{a-b}\displaystyle\int \left(\frac{a}{1-at}-\frac{b}{1-bt}\right)dt\\
&=-\frac{1}{a-b}\log \left|\frac{1-bt}{1-at}\right|=-\frac{1}{\sin^2 A-\sin^2 B}\log \left|\frac{1-t \sin^2 B}{1+t \sin^2 A}\right|\\
&=\frac{1}{\cos^2 A- \cos^2 B}\log \left|\frac{1-\sin^2 B \cos^2 x}{1-\sin^2 A \cos^2x}\right|
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int \frac{\sin 2x}{(1-\sin^2 A \cos^2 x)(1-\sin^2 B\cos^2 x)}dx=\frac{1}{\cos^2 A- \cos^2 B}\log \left|\frac{1-\sin^2 B \cos^2 x}{1-\sin^2 A \cos^2x}\right|$$

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